关于污水处理的数学建模.doc

关于污水处理的数学建摘要因为全球经济的日益增长中国经济也随之快速发展，经济发展的越快，就不可避免的破坏更多的自然环境，所以环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题，因此对于污水处理这一特殊的问题我们在解决时就应该本着高效的原则去实施，在这个污水处理问题中，我们先建立了一般情况下的模型，然后将该模型应用到实际问题中从而解决了实际问题。在模型的建立中我们要考虑工厂的净化能力，江水的自净能力，在保证江水经这一系列的处理后在到达下一个居民点后要达到国家标准，还要花费最少，对该问题进行全面的分析后可知这是一个运筹学方面关于线性规划的最优解问题，在该模型的建立中我们针对江水污水浓度在每个居民点之前小于国家标准这一条件对其建立线性约束条件，然后综合考虑费用最小，在结合三个处理厂各自的情况后关于费用抽象数模型的目标函数，然后应用LINDO软件求解该问题得到当三个处理厂排出的污水浓度分别为40 mg/l，20 mg/l，50 mg/l时，此时我们得到使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费费用为500万元。当从三个处理厂出来的污水浓度分别为 62.222225mg/l，60mg/l，50mg/l,时，此时如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费费用为188.8889万元。问题的提出设上游江水流量为1000（L/min），污水浓度为0.8（mg/L），3个工厂的污水流量均为5（L/min），污水浓度（从上游到下游排列）分别为100，60，50（mg/L），处理系数均为1（万元/（L/min）（mg/L），3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9和0.6。国家标准规定水的污染浓度不超过1（mg/L）。（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？(2) 如果只要求3个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？问题的分析通过对该污水处理所花费用最少问题的分析，我们可知在此问题中有多个污水浓度，江水的原始污水浓度，工厂排出的污水浓度，处理厂排出的污水浓度，以及当处理厂排出污水与江水混合后再经江水自净后的浓度，在这几个浓度中只有经处理厂排出的污水的浓度是未知的，其关系着整个问题，要使总费用最少，江中每段的污水浓度都达到国家标准，江水中污水浓度在到达下一居民点之前须达到国家标准1（mg/l），那么问题的重点就在于对污水浓度的认识。在问题中有三个工厂以及对应的三个污水处理厂，那么这三个污水处理厂各向江中投放的污水浓度就要有一个界值，又因当处理厂将污水排到江中之后污水会随着江水不断向下游移动，因此下游污水的浓度与上游污水的浓度是紧密相关的，即江面中每段污水的浓度都是有联系的，在模型的建立过程中我们就要考虑应用递推的方法进行相邻两端之间污水浓度的联系，在问题的求解中因所花费用都是用来对污水的处理，因此对个处理厂排出的污水浓度的确定就显得至关重要，只有确定了这三个未知数即这三个界值后，我们才能建立目标函数从而进一步得到最小花费。基于对江水浓度的限定与对花费最少两方面的考虑，我们建立了线性规划模型。具体问题分析如下：(1)为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用的解也就是说对于工厂1所排出的污水经过污水处理厂处理后的污水与江水混合后的污水浓度就得达到国家标准。同时工厂2，3排出的经过处理的污水与江水经过自净的水混合后也要达到国家标准。这样在求解具体问题的时候每个限制条件在江水与工厂排出的水混合时进行设定。对于第二个问题(2) 如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费多少费用,对居民点1来说其上游的江水污水浓度为0.8(mg/l),低于国家的标准污水浓度，无需考虑。也就是说在第二，三个居民点之前，污水浓度必须达到国家标准，这时处理问题的限制条件发生在第二三个居民点处。这时工厂1排出的污水经过污水厂的处理之后与江水混合再经过江水自净到达居民点2 之前须达到国家标准，居民点3同理。模型的假设假设与符号表示1.假设长江的水流速度固定，不会因为加入污水或改变污水浓度而改变。2.假设污水之间无反应，不会因为污水反应而改变污水量或污水浓度。3.假设居民区不产生污水。4.假设江水的自净作用对所有的污水都有用。5.假设污水进入长江后是均匀分布的。6.假设污水进入长江后不会进入上游。7.假设江水进行自净作用时，不改变江水本身流量。8.假设在进行污水处理时，不改变污水流量，只能改变污水浓度。9.假设三个工厂之间的两段江面，各自单位的自净能力相同。Qi 表示第i 段江水的流量Si 表示各工厂排出污水的流量.Ci 表示第i 段江水中污水的浓度Ai 表示第i个污水厂的污水浓度。Xi 表示第i个处理厂的污水浓度。Di 表示江水与处理厂的污水混合后的污水浓度。Ri 表示第i个处理厂的处理系数ti 表示第i段江面的自净系数。M 表示所花费用。C0 表示国家规定的污水浓度其中 C0=1mg/l工厂i+1，污水浓度Ai+1，流量Si+1工厂i，污水浓度Ai，流量Si处理厂1，污水浓度X1，流量S1处理厂i，污水浓度Xi，流量Si处理厂i+1，污水浓度Xi+1，流量Si+1江水流量为Qi，江水上游污水浓度为C1，各水段自净系数为ti工厂1，污水浓度A1，流量S1当处理厂江污水处理完排放到江中之后，居民点1即要取水，此时所要满足的条件是（为了解决问题方便不妨假设S1=S2=Si=S0）（Qi*C1+S1*X1）/(Qi+S0)=C0同理对居民点i其所满足的为 Ci=C0,其中Ci=(Ci-1)*ti+Xi*(Qi+(i-1)*S0)*Ci-1+S0*Xi)/(Qi+(i-1)*S0)+S0)假设花费为M则有目标函数：M=Ri*S0*(Ai-Xi)(i=1n)居民点与工厂和处理厂的位置如图所示：工厂3工厂2处理站1工厂1处理站2处理站3居民点1居民点2居民点3江水模型的建立对问题进行一般化处理后我们建立一般化的模型如下：目标函数：min M=Ri*S0*(Ai-Xi) (i=1n)线性约束条件： Di=（Qi*Ci+S0*Xi）/(Qi+S0) Ci+1=ti*Dis.t Di=C0 Xi=Ai模型的简化与求解在上面的一般模型中我们比较仔细的考虑了江水流量与处理厂的流量问题，但在现实生活中因污水处理厂的处理能力有限，因此其流量相对于江水流量而言较小，我们对其进行理想化的处理即整个江水的流量为一常数Qi，在求解i段江面的混合污水浓度时忽略污水厂的流量。得到的简化模型如下所示：min M=Ri*S0*(Ai-Xi)(i=1,2,3) Di=Ci+S0*Xi/Qi Ci+1=ti*Dis.t Di=C0 Xi=Ai针对下面的问题：设上游江水流量为 ,污水浓度为0.8 mg/l，3个工厂的污水流量均为 ,污水浓度(从上游到下游排列)分别为100,60,50(mg/l),处理系数均为1万元( (mg/l),3个工厂之间的两段江面的自净系数(从上游到下游)分别为0.9和0.6.国家标准规定水的污染浓度不能超过1mg/l.(1)为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用?(2)如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费多少费用?建立模型：对于问题(1)求解minM=5*(100-X1)+5(60-X2)+5(50-X3) 0.005X1=0.2 0.0045X1+0.005X2=0.28 0.0027X1+0.003X2+0.005X3=0.568 S.t X1=100 X2=60 X3=50 利用lindo 求解可得当X1=40，X2=20，X3=50时，M=500.所以要想使江面所有地段均达到国家标准，所花最小费用为500万元。对于问题二求解：min M=5*(100-X1)+5(60-X2)+5(50-X3) 0.0045X1=0.2 0.0027X1+0.003X2=0.568 S.T X1=100 X2=60 X3=50利用lindo 求解可得当X1=62.222225，X2=60，X3=50时，M=188.8889所以要使个居民点上游江水均达到国家标准，所花早少费用为188.8889万元。当然，该模型可以将题中的3个居民点和3个工厂推广到n个居民点和n个工厂等等，但是求解思想和方法都是与上述相同的。模型的评价优点：1)该方案简单易行,原理清晰,依据可靠,论证有力,结论最优2)该模型将现实中的污水处理问题用简单的线性规划问题进行分析计算，结构简单，计算方便，有利于对相似问题进行求解和对模型进行扩充，比如工厂的流水作业问题，物品运输问题，空气污染净化等问题的建模求解。3)此问题所建立的模型是从一般问题到特殊问题的过渡，所用的数学方法为线性规划，易于用多种数学软件编程求解，例如LINDO，C+，Matlab等。缺点：1)该模型在处理此问题时有假设与理想化的思想，与实际问题的求解还有一定的距离，比如这三个污水厂排出的污水流量相等，实际中居民点是一个面，再此模型中将其看做了一个点来进行处理2) 模型只从费用单方面考虑，忽略了处理厂与江水流量变化等的实际问题，使得模型的建立偏离一定实际，从而计算结果不准确。参考文献胡运权运筹学基础与应用 第四版 高等教育出版社刘承平数学建模方法 . 北京. 高等教育出版社.雷功炎数学模型讲义 北京大学出版社谢金星 薛毅优化建模与LINDO/LINGO软件 清华大学出版社姜启源数学模型 第二版 高等教育出版社附件:(1)Min 5A1-5X1+5A2-5X2+5A3-5X3st0.005X1=0.20.0045X1+0.005X2=0.280.0027X1+0.003X2+0.005X3=0.568X1=100X2=60X3=50A1=100A2=60A3=50LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 500.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST A1 100.000000 0.000000 X1 40.000000 0.000000 A2 60.000000 0.000000 X2 20.000002 0.000000 A3 50.000000 0.000000 X3 50.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 100.000023 3) 0.000000 1000.000000 4) 0.150000 0.000000 5) 60.000000 0.000000 6) 40.000000 0.000000 7) 0.000000 5.000000 8) 0.000000 -5.000000 9) 0.000000 -5.000000 10) 0.000000 -5.000000NO. ITERATIONS= 2RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE A1 5.000000 INFINITY INFINITY X1 -5.000000 0.500000 INFINITY A2 5.000000 INFINITY INFINITY X2 -5.000000 5.000000 0.555556 A3 5.000000 INFINITY INFINITY X3 -5.000000 5.000000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 0.200000 0.111111 0.200000 3 0.280000 0.200000 0.100000 4 0.568000 INFINITY 0.150000 5 100.000000 INFINITY 60.000000 6 60.000000 INFINITY 40.000000 7 50.000000 30.000006 50.000000 8 100.000000 INFINITY 100.000000 9 60.000000 INFINITY 60.000000 10 50.000000 INFINITY 50.000000(2)Min 5A1-5X1+5A2-5X2+5A3-5X3st0.0045X1=0.280.0027X1+0.003X2=0.568X1=100X2=60X3=50A1=100A2=60A3=50LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 188.8889VARIABLE VALUE REDUCED COST A1 100.000000 0.000000 X1 62.222225 0.000000 A2 60.000000 0.000000 X2 60.000000 0.000000 A3 50.000000 0.000000 X3 50.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 1111.111206 3) 0.220000 0.000000 4) 37.777775 0.000000 5) 0.000000 5.000000 6) 0.000000 5.000000 7) 0.000000 -5.000000 8) 0.000000 -5.000000 9) 0.000000 -5.000000NO. ITER