重庆大学自动控制原理课后答案涂植英.pdf

第一章 绪论 重点 1自动控制系统的工作原理 2如何抽象实际控制系统的各个组成环节 3反馈控制的基本概念 4线性系统线性定常系统、线性时变系统非线性系统的定 义和区别 5自动控制理论的三个基本要求稳定性、准确性和快速性。 第二章 控制系统的数学模型 重点 1.时域数学模型-微分方程 2.拉氏变换 3.复域数学模型-传递函数 4.建立环节传递函数的基本方法 5.控制系统的动态结构图与传递函数 6.动态结构图的运算规则及其等效变换 7.信号流图与梅逊公式。 难点与成因分析 1. 建立物理对象的微分方程 由于自动化专业的本科学生普遍缺乏对机械、热力、化工、冶金等过程 的深入了解面对这类对象建立微分方程是个难题讲述时 2. 动态结构图的等效变换 由于动态结构图的等效变换与简化普遍只总结了一般原则而没有具体 可操作的步骤面对变化多端的结构图初学者难于下手。应引导学生明 确等效简化的目的是解除反馈回路的交叉理清结构图的层次。如图 1 中 右图所示系统存在复杂的交叉回路若将 a 点移至 b 点同时将 c 点移至 d 点同理另一条交叉支路也作类似的移动得到右图的简化结构图。 图 1 解除回路的交叉是简化结构图的目的 3. 梅逊公式的理解 梅逊公式中前向通道的增益 K P 、系统特征式及第 K 条前向通路的余 子式 K 之间的关系仅靠文字讲述难于理解清楚。需要辅以变化的图形 帮助理解。如下图所示。 图中红线表示第一条前向通道 它与所有的回路皆接触 不存在不接 触回路故 1 1 。 第二条前向通道与一个回路不接触回路增益 44H GL 故 442 1HG 。 第三条前向通道与所有回路皆接触故 1 3 。 第三章 时域分析法 重点 1. 一、二阶系统的模型典型化及其阶跃响应的特点 2. 二阶典型化系统的特征参数、极点位臵和动态性能三者间的相互关 系 3. 二阶系统的动态性能指标 r t p t % s t 计算方法 4. 改善系统动态性能的基本措施 5. 高阶系统主导极点的概念及高阶系统的工程分析方法 6. 控制系统稳定性的基本概念线性定常系统稳定的充要条件 7. 劳斯判据判断系统的稳定性 8. 控制系统的误差与稳态误差的定义 9. 稳态误差与输入信号和系统类型之间的关系 10. 计算稳态误差的终值定理法和误差系数法 11. 减少或消除稳态误差的措施和方法。 难点及分析 1. 二阶典型化系统的特征参数、极点位置和动态性能三者间的相互关系 由图 1并结合下面的基本公式可说明这三者间的关系。 峰值时间 d p t 上升时间 d r t 调整时间 nn s t 43 最大超调量 %100 2 1 e 图 1 极点位置 21 SS 与特征参数 n 、 的关系 2. 控制系统稳定性的基本概念 系统稳定性涉及平衡状态的稳定性和运动稳定性两个不同概念可通过 下面两图加以区别。图 2 示意平衡状态的稳定性图 3 示意运动稳定性。 图 2 平衡状态稳定性示意 图 3 运动稳定性示意 图 2 左边的锥体表示稳定的平衡态右边的锥体则表示不稳定的平衡 态。图 3 表示当扰动撤消后锥体可平衡在多种不同的状态究竟平衡在什 么状态不仅与系统自身特性有关还与初始状态有关这是运动稳定性研究 的问题。也是非线性系统与线性定常系统差异点之一。由于线性定常系统只 有一个平衡点平衡状态稳定性与运动稳定性是同一个问题。 3. 控制系统的误差与稳态误差的定义 控制系统中误差定义为系统的给定与系统输出之差 即图 4 中 cre 。 但在讨论给定 R 和扰动 N 各自单独作用所产生的误差时极易混淆两者间 的差异。图 5 示出了这两种情况的差别对于图 5 左边的结构图误差 cre 对于图 5 右边的结构图此时误差 ce 因扰动单独作用时 0r 。 这两种情况下误差计算的方法明显不同。借此也可从物理概念上 说明为消除扰动引起的稳态误差G1s中应含有积分环节。 图 4 扰动作用下的控制系统 图 5 给定和扰动单独作用时系统的不同表现形式 第四章 根轨迹分析法 重点 1. 特征方程与根轨迹方程 2. 幅值条件和相角条件与根轨迹的关系 3. 绘制根轨迹的基本规则 4. 参数根轨迹 5. 根轨迹与系统性能分析。 难点系统零、极点在 s 平面分布对系统输出响应的影响和根轨迹的准确画法。 解决办法首先在一、二阶系统的时域分析时就引出极点在 s 平面的分布 对系统性能指标的影响这给用极点配臵设计系统打下了一定的基础。其 次在根轨迹一章里也特别强调零、极点在 s 平面的分布对系统响应的影响 最后可以用 MATLAB 画出准确的根轨迹。这样就可以用根轨迹方法设计系统 了。 第五章 频域分析法 重点 1. 频率特性的基本概念 2. 频率特性的几种表示方法及其相互关系 3. 典型环节和最小相位系统频率特性的特点 4. 幅角原理与 Nyquist 稳定性判据的关系 5. Nyquist 稳定性判据的应用 6. 相对稳定性的概念与稳定裕量计算 难点及解决办法 1、频域分析与时域分析的内在联系 用时域法分析系统因为其变量是时间的函数相关概念相当直观学 生容易接受。而用频域法分析系统时频域指标为何能反映系统的性能 学生往往难以理解。其中的要点是时域分析的输入信号为 1(t)、(t)等 典型函数这类函数均可通过富氏级数展开成一系列正弦函数。相当于系 统的输入量为不同幅值、不同频率的正弦函数同时作用到系统上利用线 性系统的叠加原理即可求出系统输出量。说明频域分析与时域分析之间存 在内在联系因此两种分析法是不矛盾的。 2、开环频率特性与闭环响应之间的内在联系。 频域分析中常用开环频率特性讨论闭环系统的性能对于初学者往往不 注意其间的联系。首先闭环特征方程式可表示为 0)()(1sHsG 再结合 增益裕量和相位裕量的定义可看出开环频率特性与闭环响应之间确实 存在一定内在联系。 第六章 控制系统的综合与校正 重点 1. 超前和滞后校正装臵的特点 2. 串联超前校正的原理与设计步骤 3. 串联滞后校正的原理与设计步骤 4. 反馈校正的设计原理 5. 复合控制的设计原理。 难点及解决办法 系统校正本是一个综合的工程问题面对某些具体究竟选用那种校正方 法初学者无从下手。 用波德图设计系统。难点在于不同系统所要求的期望波德图是不同的 而被控对象的波德图是一定的。这样确定校正环节的波德图就有一定难 度而且结果是不唯一的。 第七章 非线性控制系统 重点 1. 非线性控制系统与线性控制系统差异 2. 非线性系统的描述函数分析法 3. 非线性系统的相平面分析法。 难点及解决办法 1、绘制非线性系统的描述函数或相轨迹是分析非线性系统的具体困难 教材介绍的主要是手工绘制描述函数或相轨迹的方法这涉及到不少的 基本概念是必须的但具体应用时有不少的难度也是难于深入学习的 原因。这需要借助计算机来辅助分析和设计。 第八章 线性离散系统 重点 1. 信号采样与保持: 2. 采样过程及其数学描述; 3. Z 变换与 Z 反变换 4. 离散系统的数学模型 5. 离散系统的稳定性与稳态误差。 难点及解决办法 1、采样定理的实际指导意义 采样定理给出的是选择采样频率 s 的指导原则即 Bs 2 B 为连续 信号有效带宽。讲述上先要清楚连续信号离散化后的频谱及有效带宽的 概念再搞清带宽滤波器复现信号的原理进而引出采样定理。在此基础 上可从工程应用角度引伸说明如何根据系统的截止频率选择采样周期。 2、闭环离散系统的脉冲传递函数 由于系统的闭环脉冲传递函数取决于采样开关设臵的位臵所以没有唯 一的典型形式。为掌握闭环脉冲传递函数带来一定的困难。如下例常发 生 )()(1 )( )( 21 2 zGzG zG z 的错误。 发生错误的原因是没有分清系统内的连续信号和离散信号导致 )( 1 sG 和 )( 2 sG 错误的串联关系。 解决的要点是理解离散信号通过连续对象后输出 的是连续信号由此按可连续信号处理得运算关系 * 12 CGNGC 再经 Z 变换即可得到正确的离散系统数学模型。 第一章 绪论 1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点. 解答1 开环系统 (1) 优点:结构简单成本低工作稳定。用于系统输入信号及扰动作 用能预先知道时可得到满意的效果。 (2) 缺点不能自动调节被控量的偏差。因此系统元器件参数变化 外来未知扰动存在时控制精度差。 2 闭环系统 优点 不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量 偏离给定值 都会产生控制作用去清除此偏差所以控制精度较高。 它是一种按偏差调节的控制系统。在实际中应用广泛。 缺点主要缺点是被控量可能出现波动严重时系统无法工作。 1-2 什么叫反馈为什么闭环控制系统常采用负反馈试举例 说明之。 解答将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。 闭环控制系统常采用负反馈。由 1-1 中的描述的闭环系统的优点所证 明。例如一个温度控制系统通过热电阻或热电偶检测出当前炉 子的温度再与温度值相比较去控制加热系统以达到设定值。 1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型线性非 线性定常时变 1 2 2 ( )( )( ) 234 ( )56 ( ) d y tdy tdu t y tu t dtdtdt 2 ( )2( )y tu t 3 ( )( ) 2 ( )4( ) dy tdu t ty tu t dtdt 4 ( ) 2 ( )( )sin dy t y tu tt dt 5 2 2 ( )( ) ( )2 ( )3 ( ) d y tdy t y ty tu t dtdt 6 2 ( ) ( )2 ( ) dy t y tu t dt 7 ( ) ( )2 ( )35( ) du t y tu tu t dt dt 解答 1线性定常 2非线性定常 3线性时变 4线性时变 5非线性定常 6非线性定常 7线性定常 1-4 如图 1-4 是水位自动控制系统的示意图图中 Q1Q2 分别 为进水流量和出水流量。控制的目的是保持水位为一定的高 度。试说明该系统的工作原理并画出其方框图。 Q2 Q1 题 1-4 图 水位自动控制系统 解答 (1) 方框图如下 工作原理系统的控制是保持水箱水位高度不变。水箱是被控对象水箱 的水位是被控量出水流量 Q2 的大小对应的水位高度是给定量。当水箱水 位高于给定水位通过浮子连杆机构使阀门关小进入流量减小水位降低 当水箱水位低于给定水位时通过浮子连杆机构使流入管道中的阀门开大 进入流量增加水位升高到给定水位。 1-5 图 1-5 是液位系统的控制任务是保持液位高度不变。水箱是 被控对象水箱液位是被控量电位器设定电压时表征液 位的希望值 Cr是给定量。 2 Q 电位计 控制阀 1 Q 浮子 减速齿轮 电动机 题 1-5 图 液位自动控制系统 实际水温 给定水位 浮子 杠杆 阀门 水箱 解答: (1) 液位自动控制系统方框图 2当电位器电刷位于中点位臵(对应 Ur)时电动机不动控制阀门有一定 的开度使水箱中流入水量与流出水量相等。从而液面保持在希望高度上。 一旦流入水量或流出水量发生变化例如当液面升高时浮子位臵也相应升 高通过杠杆作用使电位器电刷从中点位臵下移从而给电动机提供一事实 上的控制电压驱动电动机通过减速器减小阀门开度使进入水箱的液位流 量减少。此时水箱液面下降浮子位臵相应下降直到电位器电刷回到中 点位臵系统重新处于平衡状态液面恢复给定高度。反之若水箱液位下 降则系统会自动增大阀门开度加大流入量使液位升到给定的高度。 1-6 题图 1-6 是仓库大门自动控制系统的示意图 试说明该系统的工作原理 并画出其方框图。 放大器电动机 门 开门开关 关门开关 绞盘 题 1-6 图仓库大门自动控制系统示意图 解答 1 仓库大门自动控制系统方框图 2工作原理 控制系统的控制任务是通过开门开关控制仓库大门的开启与 关闭。开门开关或关门开关合上时对应电位器上的电压为给定电压即 给定量。仓库大门处于开启或关闭位臵与检测电位器上的电压相对应门的 给定电位 Cr 实际液位 电位计 电动机 减速器 阀门 水箱 实际位置 开关 门位置 电位器 放大器 电动机 绞盘 大门 位臵是被控量。 当大门所处的位臵对应电位器上的电压与开门或关门开关合上时对 应电位器上的电压相同时电动机不动控制绞盘处于一定的位臵大门保 持在希望的位臵上如果仓库大门原来处于关门位臵当开门开关合上时 关门开关对应打开 两个电位器的电位差通过放大器放大后控制电动机转动 电动机带动绞盘转动将仓库大门提升直到仓库大门处于希望的开门位臵 此时放大器的输入为 0放大器的输出也可能为 0。电动机绞盘不动大门保 持在希望的开门位臵不变。反之则关闭仓库大门。 1-7 题图 1-7 是温湿度控制系统示意图。试说明该系统的工作原理并画出 其方框图。 控制器 控制器 水 蒸气 湿度变送器 温度变送器 题 1-7 图温湿度控制系统示意图 解答 1方框图 2 被控对象为温度和湿度设定 控制任务是控制喷淋量的大小来控制湿度 通过控制蒸汽量的大小来控制温度。被控量为温度和湿度设定温度和设定 湿度为给定量。 第二章 控制系统的数学模型 2-2 试求图示两极 RC 网络的传递函数 UcSUrS 。该网络 是否等效于两个 RC 网络的串联 湿度 设定湿度 控制器 电动水阀 湿度变送器 ( ) r Us( ) c Us 1 R ( )a 1 1 c s2 1 c s 2 R ( ) r Us( ) c Us 1 R ( )a 1 1 c s2 1 c s 2 R 1( ) U s 1( ) U s 解答 2 21 2 212 2 1212111222 22 212 1 2 21. 111 111221 1 1 11 () 111 ( )1 ( ) 111 ( )()1 () 11 1 ( )( )( )( )( )11 ( ), 1 ( )1( )1( )( )( ) c r ccc rrr R C SC S R u sC SC SC S a u sR R C C SRCRCR C S RR C SC SC S R R C SC S u su su su sC Su s b u sRC Su sR C Su su su s R C S 1122 11 11RC SR C S 2 12121122 1 ()1R R C C SR CR CS 故所给网络与两个 RC 网络的串联不等效。 2-4 某可控硅整流器的输出电压 Ud=KU2cos 式中 K 为常数U2为整流变压器副边相电压有效值为可控硅 的控制角设在在0附近作微小变化试将 Ud与的线性化。 解答 . 20200 20 20 cos(sin)() . sin sin) d ukuku ku ku d d 线性化方程 u 即u 2-9 系统的微分方程组为 1 2 112 323 223 ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) x tr tc t dx t TK tx t dt x tx tK c t dc t Tc tK x t dt 式中 1 T 、 2 T 、 1 K 、 2 K 、 3 K 均为正的常数 系统地输入量为 ( )r t 输出量为 ( )c t 试画出动态结构图并求出传递函数 ( ) ( ) C s R s 。 解答 2 1 Jsfs 1 1 1 K Ts ( )R s 1( ) X s 2( ) Xs 3( ) Xs ( )C s 3 k 1 2 121 2 2 31 2 122 311 2 212 (1)(1)( ) ( )(1)(1)(1) 1 1(1)(1) k k T ST Sk kC s k kk k R STST Sk k T Sk k T ST ST S 2-12 简化图示的动态结构图并求传递函数 ( ) ( ) C s R s 。 解答(a) RC 1 G 3 G 1 H 2 H 2 G RC 2 H 123 123 1 G G G H G G RC 123 1232231 1 G G G G G G HG G H 123 1232231 ( ) ( )1 GG GC S R SGG G HG G H (b) RC 1 G 2 G R C 1 1G 2 2 1 G G RC 12 212 (1)(1) 12 GG GG G 12 212 (1)(1)( ) ( )1 2 GGC S R SGGG (c) CR 1 G 图(c)-(2) 3 G 2 G C R 图(c)-(1) 3 G 1 G 2 G CR 1 G 图(c)-(3) 3 G 2 G 2 G CR 32 21 1GG GG 图(c)-(4) 12 23 ( ) ( )1 GGC s R sG G (d) CR 图(d)-(1) 3 G 1 G 2 G CR 图(d)-(2) 3 G 1 G 2 G 2 G CR 图(d)-(3) 3 G 1 G 2 G 2 G CR 32 21 1GG GG 图(d)-(4) 12 23 ( ) ( )1 GGC s R sG G (e) 1 G 2 G RC 1 G 2 G 2 G RC 1 G 2 G 2 G 2 G 2 G R C 1 G 2 G 2 G 2 G 2 G (a) (d)(c) (b) RC 1 222 12 (1)(1) 1 G GGG GG 1212 12 2( ) ( )1 GGGGC s R sGG 2-13 简化图示动态结构图并求传递函数 ( ) ( ) C s R s 。 解答 (a) 2 G 4 G 3 G 5 G 1 G RC 2 G 4 G 3 G 5 G 1 G RC 2 G CR 1 124 1 G G G G 235 G GG CR 1235 124 () 1 G G GG G G G 5123 124 ()( ) ( )1 G G GGC s R sGG G (b) CR 图(b)-(1) 1 G 2 G 4 G 6 G 3 G CR 图(b)-(2) 1 G 2 G 4 G 6 G 3 G 6 G 5 G 5 G CR 图(b)-(3) 1 G 4 G 3 G 65G G 62 2 1GG G CR 图(b)-(4) 1 G 4 G 62 652 1GG GGG 62 32 1GG GG C R 图(b)-(5) 652162 642141321 1GGGGGG GGGGGGGGG 141231246 526126 ( ) ( )1 G GG G GG G G GC s R sG GG G G G (c) CR 图(c)-(1) 1 G 2 G 4 G 6 G 3 G CR 图(c)-(2) 5 G CR 图(c)-(3) CR 图(c)-(4) 65G G 32G G 1 G 5 G 14/G G 14/G G 32G G 51 1 1GG G 6532 GGGG 6532151 3214 1GGGGGGG GGGG 4123 5511236 ( ) ( )1 GGG GC s R sGGGG G G G (d) CR 图(d)-(1) 1 G 2 G 4 G 3 G 5 G CR 图(d)-(2) 1 G 2 G 4 G 3 G 5 G 3 G CR 图(d)-(3) 1 G 3 G 4 G 5 G 32 2 1GG G CR 图(d)-(4) 42132 532132151 1GGGGG GGGGGGGGG 141231246 261256 ( ) ( )1 G GG G GG G G GC s R sG GG G G G (e) CR 1 125 1 G G G G 32 (1)GG CR 132 1251342 (1) 1(1) G GG G G GG G GG 2 G 4 G 3 G 5 G 1 G R C 2 G 4 G 3 G 25 G G 1 G RC 4 G (d) (b) (a) (c) 132 1251342 (1)( ) ( )1(1) G GGC s R sG G GG G GG (f) CR 1245 2335 1 G GG G G GG G 2 G 4 G 3 G 5 G 1 G RC (d) (b) 2 G 4 G 3 G 5 G 1 G RC 3 G 23 G G 4 G 45 G G 1 G RC 2 G 5 G C R 2335 1 1G GG G 1245 G GG G (a) (c) (e) 1245 2335 ( ) ( )1 G GG GC s R sG GG G 第三章 时域分析法 3-1 已知一阶系统的传递函数 ( )10 (0.21)G ss 今欲采用负方馈的方法将过渡过程时间s t 减小为原来的 0.1 倍并 保证总的放大倍数不变试选择 H K 和 0 K 的值。 题 3-1 图 解答 闭环传递函数 10 ( ) 0.2 1 10 s s 由结构图知 0 00 10 ( )101 10 ( ) 0.21( )0.21 10 1 1 10 H Hh H K k G SkK s K G Ssk S K GS KH K0 Rs 由 0 0 10 10 1 10 1 101010 0.9 10 H H H k k k k k 3-2 已知系统如题 3-2 图所示试分析参数 b 对输出阶跃过渡过程 的影响。 题 3-2 图 解答 系统的闭环传递函数为 ( ) ( ) ( )1() C SK s R STKb s 由此可以得出b 的大小影响一阶系统的时间常数它越大系统的时间 常数越大系统的调节时间上升时间都会增大。 3-3 设温度计可用1 ( 1)Ts 描述其特性。现用温度计测量盛在容器 内的水温发现 1 分钟可指示 98的实际水温值。如果容器水温 依 10/min 的速度线性变化 问温度计的稳态指示误差是多少 解答 本系统是个开环传递函数 系统的闭环传递函数为 系统的传递函数 1 ( ) 1 G s Ts 则题目的误差传递函数为 1 K Ts bs ( )R s GS RS CS 1 ( ) 1 1 E s Ts 1 2 0 ( )1( ), ( )1 1 ( ) 1 1 ( )|0.98T=0.2556 10 ( )10,lim( )102.556 t t ss s r ttc te E S TS c t r tesE ST S 时 根据得出 当时 3-4 设一单位反馈系统的开环传递函数 ( ) (0.11) K G s ss 试分别求 1 10Ks和 1 20Ks时系统的阻尼比、无阻尼自振频率 n w 、单位阶跃响应的超调量 p 和峰值时间 p t 并讨论K的大小 对动态性能的影响。 解答 开环传递函数为 n 2 n n 2 n n 2 n 2 n n 10 ( ) (0.11)(10) 25W10 W10 2 W10 10 W10 W10 0.5 %16.3% arccos 0.242 1 0.363 2W10 20 W10 W14.14 0.347 % arccos p r d n p d p r d KK G s SSS S K K K t t K K t 则 当时由 得出 当时由 得出 2 1 0.238 n p d t 3-8 设控制系统闭环传递函数 2 22 ( ) 2 n nn s s 试在 s平面上给出满足下列各要求的闭环特征根可能位于的区域 1. 10.707,2 n 2. 0.50,42 n 3. 0.7070.5,2 n 解答 欠阻尼二阶系统的特征根 0 jw s 1. 由0.707 1,arccos 得0 45 由于对称关系在实轴的 下半部还有。 2. 由0 0.5,arccos 得60 90 由于对称关系在实轴的 下半部还有。 3. 由0.5 0.707,arccos 得出45 60 由于对称关系在 实轴的下半部还有。 则闭环特征根可能位于的区域表示如下 1 s 0 45 jw -2 2 0 60 0 jw s -2-4 3 0 60 jw s -2 45 3-10 设单位反馈系统开环传递函数分别为 1. ( )(1)(0.21)G sK s ss 2. ( )(1) (1)(0.21)G sK ss ss 试确定使系统稳定的K值。 解答 1.系统的特征多项式为 32 ( )0.20.8D ssssk ( )D s 中存在特征多项式中存在负项所以 K 无论取什么值系统都 不会稳定。 2.系统的特征多项式为 32 ( )0.20.8(1)D sssksk 劳斯阵列为 3 s 0.2 k-1 2 s 0.8 k 1 s 0 . 60 . 8 0 . 8 k 0 s k 系统要稳定 则有 0.60.8 0 0.8 0 k k 所以系统稳定的 K 的范围为 4 3 k 3-14 已知单位反馈系统开环传递函数如下 1. ( )10 (0.11)(0.51)G sss 2. 2 ( )7(1)(4)(22)G sss sss 3. 2 ( )8(0.51)(0.11)G ssss 解答: 1.系统的闭环特征多项式为: 2 ( )0 . 0 50 . 61 1D sss 可以判定系统是稳定的. 则对于零型系统来说其静态误差系数为: 0 l i m( )1 0 p s kG s 0 lim( )0 v s ksG s 2 0 l i m( )0 a s ks G s 那么当 ( )1( )r tt 时 11 111 ss p e k 当 ( )1( )r ttt 时 1 ss v e k 当 2 ( )1( )r ttt 时 2 ss a e k 2.系统的闭环特征多项式为: 432 ( )61 01 57D sssss 可以用劳斯判据判定系统是稳定的. 则对于一型系统来说其静态误差系数为: 0 l i m( ) p s kG s 0 7 lim( ) 8 v s ksG s 2 0 l i m( )0 a s ks G s 那么当 ( )1( )r tt 时 1 1 ss p e k 当 ( )1( )r ttt 时 18 7 ss v e k 当 2 ( )1( )r ttt 时 2 0 ss a e k 3.系统的闭环特征多项式为: 32 ( )0.148D ssss 可以用劳斯判据判定系统是稳定的. 则对于零型系统来说其静态误差系数为: 0 l i m( ) p s kG s 0 lim( ) v s ksG s 2 0 l i m( )8 a s ksG s 那么当 ( )1( )r tt 时 1 0 1 ss p e k 当 ( )1( )r ttt 时 1 0 ss v e k 当 2 ( )1( )r ttt 时 21 4 ss a e k 第四章 根轨迹法 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数绘出当开环增益 1 K 变化 时系统的根轨迹图并加以简要说明。 1. 1 ( ) (1)(3) K G s s ss 2. 1 2 ( ) (4)(420) K G s s sss 解答: (1) 开环极点 p1=0p2=1p3=3 实轴上的根轨迹区间 (3 10 渐进线 0 1 34 33 a 0 0 0 60(0) (21) 180(1) 3 60(1) a k k k k 分离点 111 0 13ddd 解得 d1、2=0.45-2.2。 d2=2.2 不在根轨迹上舍去。 与虚轴交点 特征方程 32 1 ( )430D ssssK 将 s=j代入后得 2 1 3 40 30 K 解之得 3 1 12K 当 1 0K 时按 180相角条件绘制根轨迹如图 4-2(1)所示。 -3- 1 -0.45 -4/3 0 j 3j 3j 1 K 图4-2(1) (2) 开环极点p1=0p2=4p3、4=2j4 实轴上的根轨迹区间40 渐进线 2 4 224 a 0000 135,135,45,45 a 分离点 )8018368( 234 1 ssssK 由 0 1 ds dK 解得 s1、2=2 62 4 , 3 js 分离点可由 a、b、c 条件之一进行判定 aG(s3)=(129o+51o90o+90o)=180o满足相角条件 b 0100)80368()( 62 234 31 3 js sssssK K1 在变化范围 )0 内 c由于开环极点对于=2 直线左右对称就有闭环根轨迹必 定也是对于=2 直线左右对称故 s3 在根轨迹上。 与虚轴交点 特征方程 080368)( 1 234 KsssssD Routh 表 s4 1 36 K1 s3 8 80 s2 26 K1 s 808K1/26 s0 K1 由 808k1/26=0 和 26s2+ k1=0解得 k1=260 10 2, 1 js 。 当 1 0K 时按 180相角条件绘制根轨迹如图 42(2)所示。 -40 j )260( 10 1 K j 图 4-2(2) )100( 62 1 K j -2+j4 4-3 设单位反馈系统的开环传递函数为 1 2 ( ) (2) K G s ss 1 试绘制系统根轨迹的大致图形并对系统的稳定性进行分 析。 、 2 若增加一个零点1z 试问根轨迹有何变化对系统的稳 定性有何影响 解答 (1) K10 时根轨迹中的两个分支始终位于 s 右半平面系统不稳定 (2) 增加一个零点 z=1 之后根轨迹左移根轨迹中的三个分支始终位于 s 左半平面系统稳定。 4-4 设系统的开环传递函数为 1 2 (2) ( )( ) (2) K s G s H s s ssa 绘制下列条 件下的常规根轨迹。 11a (2 ) 1.185a 33a 解答 1 1a 实轴上的根轨迹区间 (1 10 渐进线 0 2 )2(2 a ) 1(90 )0(90 2 ) 12( 0 0 k kk a 分离点 2 2 23 1 s asss K 解得 0 1 ds dK 1 1 d 2 53 ,3 2 d 只取 2 53 d 。 与虚轴交点 特征方程 022)( 11 23 KsKassssD 令 jws 代入上式得出与虚轴的交点 系统的根轨迹如下图 2 185. 1a 零点为2z 极点为 0 ,43. 01jp 实轴上的根轨迹区间 (1 10 渐进线 0 2 )2(2 a ) 1(90 )0(90 2 ) 12( 0 0 k kk a 分离点 2 2 23 1 s asss K 解得 0 1 ds dK 特征方程 022)( 11 23 KsKassssD 令 jws 代入上式得出与虚轴的交点 系统的根轨迹如下图 3 3a 零点为2z 极点为 0 ,41. 11jp 实轴上的根轨迹区间 (1 10 渐进线 0 2 )2(2 a ) 1(90 )0(90 2 ) 12( 0 0 k kk a 分离点 2 2 23 1 s asss K 解得 0 1 ds dK 特征方程 022)( 11 23 KsKassssD 令 jws 代入上式得出与虚轴的交点 系统的根轨迹如下图 4-8 根据下列正反馈回路的开环传递函数绘出其根轨迹的大致 形状。 1 1 ( )( ) 12 K G s H s ss 2 1 ( )( ) 12 K G s H s s ss 3 1 2 ( )( ) 13 (4) Ks G s H s s sss 解答 1 2 3 4-15 设单位反馈系统的开环传递函数为 1 2 ( ) 1 Ksa G s ss 确定a值使根轨迹图分别具有0、1、2 个分离点画出这三种 情况的根轨迹。 解答 首先求出分离点 分离点 32 1 ss K sa 解得 2 1 2 2(31)2 0 () dKsasa s dssa 得出分离点 2 1,2 (1 3 )(1 3 )16 4 aaa d 当 1 1 9 a 时上面的方程有一对共轭的复根 当9 1 1aa或 时上面的方程有两个不等的负实根 当 1 1 9 aa或 时上面的方程有两个相等的实根 1 当 1a 时 系统的根轨迹为可以看出无分离点 故排除 2 当9 1 a 时 系统的根轨迹为可以看出系统由一个分离点 3 当 1a 时 比如 3a 时系统的根轨迹为可以看出系统由无分离点 4 当9 1 a 时 比如20 1 a 时系统的根轨迹为 可以看出系统由两个分离点 5 当 1 9 1 a 时 比如2 1 a 时系统的根轨迹为可以看出系统由无分离点 第五章 频域分析法 5-1 设 单 位 反 馈 控 制 系 统 开 环 传 递 函 4 ( ) 1 G s s 当 将 ( )sin(260 )2cos(45 )r ttt 作用于闭环系统时求其稳态输 出。 解答 开环传递函数1 4 )( s sG 闭环传递函数5 4 )( s s 闭环频率特性 5 4 )()( )( j eMj j 25 4 )( 2 M )5/(t a n)( 1 当=2 时M(2)=0.74(2)=-21.8 当=1 时M(1)=0.78(1)=-11.3 则闭环系统的稳态输出 ) 3 . 1145cos(56 . 1 ) 8 . 21602sin(74. 0)( 0000 tttCss )3 .56cos(56. 1)2 .382sin(74. 0 00 tt )7 .33sin(56. 1)2 .382sin(74. 0 00 tt 5-2 试 求 1 10 ( ) 4 G s s 2 4 ( ) (21) G s ss 3 (1) ( )(1,) 1 Ks G sKT Ts 的实频特性 ( )X 、虚频特性 ( )Y 、幅 频特性 ( )A 、相频特性 ( ) 。 解答 4 arctan 2 222 16 10 16 10 16 40 16 )4(10 4 10 )( w j e w w w j ww jw jw jwG 则 2 16 40 )( w wX 2 16 10 )( w w wY 2 16 10 )( w wA 4 a r c t a n)( w w ) 2 1 arctan180( 2 33 14 4 4 4 4 8 ) 12( 4 )( w j e ww ww j ww w jwjw jwG 则 ww w wX 3 4 8 )( ww wY 3 4 4 )( 14 4 )( 2 ww wA w w 2 1 a r c t a n180)( )arctan()arctan( 22 22 2222 2 1 1 1 )( 1 )1 ( 1 )1 ( )( wTwj e wT wk wT wTk j wT Twk jTw wjk jwG 则 22 2 1 )1 ( )( wT Twk wX 22 1 )( )( wT wTk wY 22 22 1 1 )( wT wk wA )a r c t a n ()a r c t a n ()(wTww 5-4 绘制下列传递函数的对数幅频渐近线和相频特性曲线。 1 4 ( ) (21)(81) G s ss 2 242 ( ) (0.4)(40) s G s ss 3 22 8(0.1) ( ) (1)(425) s G s s ssss 4 2 10(0.4) ( ) (0.1) s G s ss 解答(1)转折频率为 2 1 , 8 1 21 ww 2 3 4 5-10 设单位负反馈系统开环传递函数。 (1) 10 ( ) (0.51)(0.021) G s sss 2 1 ( ) as G s s 试确定使相角裕量等于 45的值。 (2) 3 ( ) (0.011) K G s s 试确定使相角裕量等于45的K值。 3 2 ( ) (100) K G s s ss 试确定使幅值裕量为 20dB的开环增 益K值。 解答 1由题意可得 0| 1)( log20 45)arctan180(180)( 2 2 c ww c w aw ww 解得 84. 0 19. 1 c w 2由题意可得 0| 1)01. 0( log20 4501. 0arctan3180)( 2 3 2 c ww c cc w k ww 解得 83. 2 100 k wc 3由题意可得 20| )100( log20 180 100 arctan90)( 222 2 g ww g g g www k w w w 解得 10 10 k wg 5-13 设单位反馈系统开环传递函数 10 ( ) (0.51)(0.021) G s sss 试计算系统的相角裕量和幅值裕量。 解答 由 18002. 0arctan5 . 0arctan90)( ggg www 10 g w 14 10 2 log40 2 1 log2020)( c wL 所以幅值裕量 )(14 dBh 47. 4102 c w 故 16102. 0arctan5 . 0arctan90)( ccc www 所以相角裕量 19161180)( c w 系统的幅频特性曲线的渐近线 w0.11 10 100 )(wL 2 50 20 14 -40 d(B) -20dB/dec -40dB/dec -60dB/d