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i 第九章第九章 再论实数系再论实数系 1 实数连续性的等价描述实数连续性的等价描述 221 1.(,) 1 (1).1; sup1,inf0; (2)2( 2) ; sup,inf; 1 (3),1,(1,2,); sup,inf2; 1 (4)1 ( 1) ; nnn nnn n nnn kknn n n xxx xxx n xnxx xk xkxx k n x n 求数列的上下确界 若无上下确界 则称，是的上下确界 ： ( 1) sup3,inf0; (5)12; sup2,inf1; 123 (6)cos; sup1,inf. 132 n nn n n nnn nnn xx xxx nn xxx n 2.( ), (1)sup( )inf( ); (2)inf( )sup( ). (1)sup( ), .,( ); .0,( ). .,( ); . x Dx D x Dx D x D f xD f xf xf xf x Af x ixDf xA iixDf xA ixDf xA ii 设在 上定义 求证： 证明： 设即有 对有 对使得 于是有 对有 对0,( ). inf( ),inf( ), sup( )inf( ) x Dx D x D x D xDf xA Af xAf x f xf x 使得 那么即因此有 成立。 (2)inf( ), .,( ); .0,( ). .,( ); .0,( ). sup( ),sup( ), x D x Dx D Bf x ixDf xB iixDf xB ixDf xB iixDf xB Bf xAf x 设即有 对有 对使得 于是有 对有 对使得 那么即因此有 inf( )sup( ) x D x D f xf x 成立。 ii 111 222 22 3.sup,lim;, .sup,.,; .0,. 11 ,; 22 11 ,; 22 nnn n EEExxxE iEixExiixEx xEx xEx 设且试证从 中可选取数列且 互不相同 使得又若 则情况又如何？ 证明：由于那么可知 对有成立对使得 那么 取则使得 取则使得 333 33 0 0 11 ,; 22 11 ,; 22 ,lim (),;, 2 ,lim nnn nn nn n n n n xEx xEx xEx xN nNx 取则使得 取则使得 我们得到数列且由夹迫性原理可知有成立。 如果有无限个数彼此相同 设等于那么必有否则可知对 有使得成立 这与;, ,(; ) . .,1,2, 2,1,3,51 n nn n xE xx x iiEE E 矛盾 但是我们知道矛盾。因此 至多只有有限个数彼此相同 我们只需要将中的相同的数剔除 剔除到只余一个 如 果还有有限个彼此相同的数,继续剔除即可 就可以得到满足条件的数列 如果则可能找不见这样的数列。对于我们可以找见满足条件的数列, 但当的时候,我们找不见这样的数列。 12 4., .lim, .lim,100,100 min ,100, nnnn n nnn n N ixxaxx iixxNnNx mx xx 试证收敛数列必有上下确界 趋于的数列必有下确界 趋于的数列必有上确界。 证明： 对于数列如果有那么可知数列必有上下界 那么可知数列必 有上下确界。 若对于数列如果有那么对于存在当时,有成立。 那么我们取可以知道对 ., n n xxxm x iii 于任意可知有成立,于是数列 有下界,则由确界定理可以知道此数列必有下确界。 同理可证得 趋于的数列必有上确界。 5. (1); ; 1 (2); 1; (3); ( 1) ; 1 (4), ( 1). n n n n n n xn x n x n x n 试分别给出满足下列条件的数列： 有上确界无下确界的数列 含有上确界但不含有下确界的数列 既含有上确界又含有下确界的数列 既不含有上确界又不含有下确界的数列 其中上下确界都有限. iii , , , , , , 6.( ) , , , sup( )inf( ), , sup( )( ) . sup( ),inf( ); . , ,( ), f xa b xa b f x xa b xa b xa b f xa ba bf xf x a bf xf x f xf x ixa bf xf 设在上有界 定义求证： 证明：设那么可知 对于有 121122 1221 12 ( ); .0, , , , ( ),( ). 22 , , ,(),();(),(), ()(),()() ()() x iixa b xa bf xf x x xa bf xf xf xf x f xf xf xf x f xf x 成立 对于使得 对于有于是 成立,即 * 1212 * 12 * 12 , , . 0, , ,(),(), 22 ()() ,()(). sup( )( ) , , x xa b f x xa bf xf x f xf x f xf x f xf x a b 由于对于使得即 成立 故有 综上可知即 , , sup( )( ) . x xa b f xf x 0 000 00 0101 0 7.( ), 11 ()lim,. ( )()0. ;( )0,0, ( )() 3 ff n f f xx xxx nn f xxx f xxxx f xf x 设在 附近由定义且有界 定义 证明：在 连续的充要条件为 证明：必要性 如果在 连续,那么对于总当的时候有 成立。 1 1 120010110 20 1200 21 112 lim0,. 2 11 ,()(), 3 ()(). 3 11 0, ()( n NnN nnn x xxxxxf xf x nn f xf x NnNx xxx nn f xf x 由于因此当的时候有即 那么对于由于因此同理我们可 得 综上有对于当的时候,对于有 2001 2 )()()()(), 333 f xf xf xf x iv 1200 21 11 , 000 00 00 2 sup()(), 3 11 ()lim,0. 11 ;lim,0,0,0, 11 ,sup x xxx nn ff n f n x f xf x xxx nn xxNnN nn xxx nn 于是必有 因此 充分性 如果那么对于当的时候 对于任 意有 00 00 00 11 , 00 11 , 0 1 ( )().0, 1 ( )()sup( )() ( ) xx nn xxx nn f xf xxx n f xf xf xf x f xx 那么对于取当 的时候,有 成立,因此函数在 点连续。 8.( ), ( ),0, inf( ) inf( )inf ( ) ( )inf( ) sup ( ) sup( ) sup ( )sup ( ) ( ). x Dx Dx Dx D x D x Dx Dx D f x g xD f xg xf x g xf xg x f xg xf x g x i ? ? 设在 上有界 且大于求证： 证明： 12 12 1212 12 .inf( ),inf( );inf ( ) ( )., ( ), ( ). ( ), ( )0,( ) ( );( ) ( ) inf ( ) ( ), x Dx Dx D x D f xg xf x g xxD f xg x Df x g xxDf x g xf x g x f x g x 设那么对于任意有 又由于在 上有于是对于任意有因此是函数 的一个下界,由于故有 22 ,inf( ) inf( )inf ( ) ( ). .sup( ) sup ( )sup ( ) ( ). .sup ( ),( )0,( ) ( )( ) inf x Dx Dx D x Dx Dx D x D x f xg xf x g x iif xg xf x g x iiig xxDf xf x g xf x ? ? 即 同理可证得 设于是对于任意由于因此总有成立。 于是有 2 ( ) ( )inf ( )inf( ) sup ( ). .inf( ) sup ( )sup( ) sup ( ). Dx Dx D x D x D x Dx Dx D f x g xf xf xg x ivf xg xf xg x ? ?同理可得 综上即知所证成立。 2 实数闭区间的紧致性实数闭区间的紧致性 v 1.9.29.3. , , . , ,( , ), ( ),0,0; nn o n nn n xxa b xxa bU x xxx nxx 利用有限覆盖定理证明紧致性定理 证明：设数列有界 令使用反证法证明： 设有界数列不含有收敛子列,则存在去心邻域其中不含有数 列中的项。否则 的任意去心邻域必含有数列中的无穷多项 若仅含有有限项,则满 足要求的去心邻域必存在 即使得那么我们如下构造数列： 1 12 1 111 2212 1 1,0; 1 min( ,),0; 2 1 min(,),0; 1 ,(); , kk kkk n nn knkknk nnn nxx xxnnxx xxnnxx k xxxxx k k 取使得 取使得 取使得 易知所构造的子列满足于是有因此如果紧致性定理 不成立 则 , ,( , ), ( , )| , , ( , )| , , , o n nn xa bU xx U xxa ba b U xxa ba b xxa b 存在去心邻域其中不含有数列中的项。 那么开区间集合是闭区间的一个覆盖,由有限覆盖定理可以知 道,中有有限个开区间可以把区间覆盖。但是我们知道这些有限个开 区间中只可能含有数列的有限项,这与数列是上的一个无穷数集相矛盾。 2.9.3 ,. lim;0,0,. ,lim. k kkk k nnn nnn k Knn n xxx xAKkKxAAxA NnnNAxAxA 利用有紧致性定理证明单调有界数列必有极限。 证明：设数列单调增加有界由紧致性定理可以知道存在收敛子列 设那么对于当时,有成立 即 取由单调性可以知道当时 有成立 于是 vi 1 3. sup,inf,0,; 0,. : k nn nnNn nn n xx xxxxx xNnNx x 用区间套定理证明单调有界数列必有极限。 证明：不妨设设数列单调上升有上界,那么由确界定理可以知道数列必有上下确界。 设于是对于使得那么由于数列 单调递增,可知对于当的时候,有 我们如下构造数列 取 1111 222212 22 333323 33 ,1; 222 ,2max( ,); 22 ,2max(,); 22 n n n NnNxnN NnNxnn N NnNxnn N 当时,令 取当时,令 取当时,令 1 ,2max(,); 22 , (1,2,). 2 ,limlim,lim k k kkknkkk kk nkk k nkkkkn kkk NnNxnnN xa bk xa babx 取当时,令 于是我们的一个数列及一个区间套显然 有且利用极限的两边夹法则可以知道. 0,0,;, ,lim. k k nKn nnn n KkKxNNx nNxxx 即对于当的时候 有那么取由数列的单调 性可以知道,当的时候有即于是可知 vii 1122 4.:, , 0, 1 .,0, nn nn nn a ba ba b ba ia b n 试分析区间套定理的条件 若将闭区间列改为开区间列 结果怎样？若将条件 去掉或将去掉 结果怎样？试举例说明。 答： 若将闭区间改为开区间则可能套不到一个公共点,例如显然有 1 1122 1 ,. ., , 1 1, 4 2 , 1 0, lim0,. nn n nn nn nnnn n n a b iia ba ba br n a b n baa b i 若将条件去掉则可能找不见一个实数 包含于所有的区 间里 例如 其他 显然但是 1 1 .lim0,1, , 1,0. nnnn n nn n iibaa b n a b 若无则得到的可能不是一个点而是一个区间 例如 显然有 viii 11 122 11 2 22 5.,(). .,0,. 2,; max(2 ,),; kk nnm nn nnn nnnn xxxa a ixGxxxG GxxxG GxxxxG 若数列无界,且非无穷大量,则必存在两个子列,为有限数 证明： 由数列无界可知 对于总有使得那么我们如下构造数列： 取则有使得 取则有使得 取 233 1 3 33 max(2 ,),; max(2 ,),; lim2,lim. . kkk kk nnnn k knnnnk n nn nk n GxxxxG GxxxxG xx iix 则有使得 取则有使得 由于那么我们可以知道我们得到一个子列满足 由于数列不是无穷大量,那么 1 2 3 00 1110 21220 32330 0,0,. 1, max(2,), max(3,), n n n n GNnNxG NnNxG NnnNxG NnnNxG 对使得我们如下 构造数列： 取那么使得 取那么使得 取那么使得 10 0 max(2,), , , k k k kkkkn n mn NnnNxG Gx xx 取那么使得 于是我们得到一个以为界的数列那么由紧致性定理可以知道此数列必有收敛 子列显然这个收敛子列也必是数列的子列。 ix 1 00 1110 6.,(). ,inf,sup. . ,0,0,. 1, kk k nnm nnn n nn n xxa xb ab xxx xa xaNnNxa NnNxa N 有界数列若不收敛,则必有两个子列 证明：由于数列有界 那么必有上下确界 设而且必有收敛子列, 设其收敛子列收敛于实数 由于数列不收敛于我们知道对于使得我们如 下构造数列： 取使得 取 2 3 21220 32330 10 00 , , , , ,(); k k n n kkkkn n nnNxa NnnNxa NnnNxa aax ab bab 使得 取使得 取使得 那么我们得到一个区间上的数列可以知道这个数列必有收 敛子列,且其收敛子列必不收敛于可设其收敛于实数显然这个收敛于实数 n x 的子 列也是数列的收敛子列。于是得证。 00 0 7. , , , k k kk k nnn nn n nn knn aaa aa x xxkxG NnNxGx 求证：数列有界的充要条件是:的任意子列都有收敛子列。 证明：必要性。如果数列有界 那么它的任意子列也必有界 故此子列有收敛子列。 充分性,使用反证法。首先我们要肯定无穷大量没有收敛子列,若数列是无穷大 量且有一个收敛子列收敛于那么该子列必有界。设对于有成立,那么对 于任意的必有使得成立,这与数列是无穷大量 5 ;, nn nn aaT aa 相矛盾。 那么如果有界则得证 如果无界 则由 可知必有子列是一个无穷大量,这与 数列的任意子列都有收敛子列相矛盾。总之数列必有界。 x 1111 2 21222 3 8.( ) , ,( ) , ( ) , ,0, , ( ), 2, , ,(); max(2 ,(), , ,(); max f xa bf xa b f xa bGxa bf xG Gxa bf xG Gf xxa bf xG G 设在上定义 且在每一点出函数的极限存在,求证：函数在上有界。 证明：使用反证法。若函数在上无界 那么对于使得则 取使得 取使得 取 3 2333 1 00 (2 ,(), , ,(); max(2 ,(), , ,(); , ,; lim, , . () , k k n nnnnn nn n k n f xxa bf xG Gf xxa bf xG a bxx xxxa b f x 使得 取使得 于是我们得到上的数列显然该数列有界,因此它必有收敛子列我们设 可以知道必有 对于数列我们知道它是一个无 7 0 0 , lim()(), ( )() k n k T f xf x f xx 穷大量 由 可知它没有收敛子列 于是有 这与函数在 点有极限是矛盾的由海涅原理可知矛盾 。 1111 2 21222 9.( ) , , , ,0,( )(,) , ( ) , ,0, , ( ). 2, , ,(); max(2 ,(), , ,(); f xa bca bf xcca b f xa bGxa bf xG Gxa bf xG Gf xxa bf xG 设在上无界 求证：存在对于任意的函数在 上无界。 证明：由于在上无界 可以知道对于使得那么 取使得 取使得 3 32333 1 max(2 ,(), , ,(); max(2 ,(), , ,(); , , , . (),0,0, k n nnnnn nn n Gf xxa bf xG Gf xxa bf xG a bxxca b f xGNnN 取使得 取使得 于是我们得一个上的有界数列设它的一个收敛子列收敛于由于 数列是一个无穷大量 那么对于任意的当时 11 2212 ();, ,(),() . lim,(,) , ;max(,), ,(,) , ,(). 0,( kk kk kk n knn nn k nn f xGN KkKnNf xGf x xcKkKxcca bKK K GkKxcca bf xG f x ,而对于 我们可以找见使得时由那么此时因此数列是一个无穷大 量 由于故对于当时取 可知对于使得且 因此对于任意的函数)(,) , cca b在上无界。 xi 0 10 0 000 0100 10.( )( , )lim( ), lim( ) ( , )( ). ( )() ( , ), ( )()()( )() lim. xaxb xb f xa bf xf x xa bf xM f xf x xxxa b xx f xf xMf xf xf x A xxxxxx 设是上的下凸函数,且有上界,求证:存在。 证明：对于任意有 设为内任意三点 那么由凸函数的性质可知单调上升 且有 成立。那么根据单调有界有极限可设 0 0000 0 ( )() lim( )lim ()()()(). lim( );lim( ) xbxb xbxa f xf x f xxxf xA bxf x xx f xf x ? 于是有 因此可知极限存在 同理可知存在。 由于凸函数的定义不明确，这里将原题中的“凸函数”改为“下凸函数” 00 11.( ) , , ( )(0)(0) ; 0,( ) ( ),(),(0) ( ),0,(, ),0( ) f xa b xf xf x x xf xx f xrxrrx 设在上只有第一类间断点 定义 求证：任意的点只有有限多个。 证明：如果点 是函数的连续点 那么可以容易的证得对于成立 .我们 现在证明若在 点的左极限存在 那么使对有成立。 11 01010001 0 001 lim( ),0,0,(, )( ). (, )min(,),(,)(, ) ( )( ) ().(, ) xr f xAxrrf xA xrrxrrxxxxrr f xAf xx xxrr 设则对当时有 那么取可知当时, 有成立。于是函数在 点的左右极限存在且相等,依题意可知此点必是函 数的连续点,于是有由点 在区间上的任意 1111 ,0,( ,),0( ) ( ) , ( ) , , , ,( ) ,;, rxr rx f xa b f xa ba bf x a ba b 性可知所证成立。同理可证得 当函数在点 处有右极限的时候使得对有成立。 以下,我们使用反证法证明函数在区间上只有有限个间断点。 若函数在区间上有无限个间断点 那么我们将区间等分 取其中含有无 限个间断点的那个小区间记为同理我们将区间等分 取含有无限个间断 220 1 0 120100020102 0 ,;, ,. ,( ),( ) ;,(,)( ,)( )(,) ( ) nnnn n a ba bra b rf xf x xrrr rxrr rx 点的那 个小区间记为如此下去我们将得到一个区间套可设 可以知道 不论 是函数的间断点还是连续点 函数在此点都必有左极限和右极 限 即存在使得或总有成立。则在区间 上仅有一个点 不满足成立。 但是此时我们 0102 ,(,), , ; nnnn na brra b a b 发现：只要 取足够大就有这与的构造是矛 盾的。因此函数在区间上只有有限个间断点 即得证。 xii 0,) 0,) 12.( )0,),(,),( )0,) ,lim( ) ( )0,),( )0,), inf( ), sup( ).0,),( ) ,; , x x x f xaf xa f x f xf x f xf xxf xc 设函数在上连续有界 对任意在上只有有限个根或 无根 求证：存在。 证明：由函数在上连续有界可知 函数在区间上必有上下确界 我们设 即对于有成立 且对于 0 0 1 1 1111 11 , 0,)() ( ),;0,) 2 ( )( )( ) 222 , ,. 22 ( ),; 2 x f xc f xx xxf xf xf x a ba b ab f x 使成立。 对于方程由于它只有有限个根 故我们可以取得 为其在区间上最 大的那个根,即对于任意总有或成立。若成立,则 取否则取 同理对于方程由于它只有有限个根 故我们 21 111111 2 1111 221221 1 ,) ( )( )( ) 222 ,. 22 ,. ,limlim nnn nnn nn n xx ababab xxf xf xf x abab a bba ba a bx ra ba 可以取得 为其在区间 上最大的那个根,即对于任意总有或成立。若成 立,则取否则取 如此继续下去,我们可得一个区间套及一个单调递增数列此时必有唯一的 点且有 lim()0 . ,( ),0, ( ) lim( ). nnn n nnnN nn x brab xxf x ra bNnN xx f xrba f xr 对于有成立,那么对当时有 成立。因此有 3 实数的完备性 3 实数的完备性 xiii 1.( )( , ),( )( , )lim( ), lim( ) ( )( , )0,0, ( , ) ( )( ). , ( , ), ( ,)( )( ), xaxb f xa bf xa bf xf x f xa bx xa bxx f xf x x xa bx xa af xf x 设在上连续 求证：在一致连续的充要条件是都存在。 证明：必要性。若在一致连续,那么当且时, 有 因此对于任意当时,有那么由 lim( )lim( ) lim( ), lim( ), ( )( ) ( , ). ,( ) , ,( xaxb xaxb f xf x f xf x xa g xf xxa b xb g xa bg 柯西收敛原 理可知存在。同理可知存在。 充分性。设构造函数 可以知道 函数在闭区间上是连续的 则由康托定理可以知道函数) ( , );( )( ),( ) ( , ) x a bf xg xf x a b 在该区间上是 一致连续的。那么它在开区间上也必是一致连续的 而此时因此可知在 区间上一直连续。 0 0 111 2.1 23 3 ,2,3 , 3 11133 . 36212233 n mn n xn n NnN mN N xx NNNN x 求证数列当时,极限不存在。 证明：存在,对于使得 那么由极限的柯西原理可以知道数列的极限是不存在的。 2 012 1212 12 3. (1),1,; (1) 0,log1, 2 n nnk q nnmnnm mnnnm xaa qa qa qqaM q Nm nN M xxaqaqa qM qqq 利用柯西收敛原理讨论下列数列的收敛性： 证明：对于对于有 111 (1) 2 (1)22 2 ; 1111 nmnN q M MqqMqMq M qqqq 因此可知原数列是收敛的。 xiv 2 1 2 1212 1 sin1sin2sin (2)1; 222 0,log1, sin(1)sin(2)sin111 222222 11 (1) 22 1 1 2 n n mn nnmnnm nm n n x Nm nN nnm xx 证明：对于对于有 1 2 log 111 ; 222 nN 因此可知原数列是收敛的。 1 2 +1232 111 (3)1( 1). 23 ,2 1111 ( 1)( 1)( 1)( 1) 22121 1111 (2 )(21)(22)(23)(4)(3)(2)(1) n n mn nknknn mn x n xxmnk xx nknknn nk nknknknnnn 证明：对于当时 111 (2 )(21)(21)(22)(22)(23) 111 (4)(3)(3)(2)(2)(1) 111111 (21)(2 )(22)(21)(23)( nk nknknknknk nnnnnn nknknknknkn 插入一些正数项 2 +22 +12 22) 111111 (3)(4)(2)(3)(1)(2) 111 ; (1)(2 )1 21 111 ( 1)( 1)( 1)( 21221 nknknk mn k nnnnnn nnkn mnk xx nknknk 拆开所有正数项 当时 2 2 +22 +122 1 1) 1 1111 ( 1)( 1)( 1)( 1) 212211 1111 . 21(1)(2 )1 111 0,2,; 1 1 n nknknkn mn n nknknkn nknnkn Nm nNxx n 因此对于只要取那么对于任意总有 故原数列是收敛的。 xv 0 0 00 0 00 4.lim( )0,0,0,0 ( )( ). lim( ),0,0( ); 2 , ,0,0, ( )( )( xx xx f xxxxx f xf x f xAxxf xA x xxxxx f xf xf x 证明存在的充要条件是：对给定的当 时,恒有 证明：必要性.设则对于当时,那么对于 任意若则必有 0 00 0 )( )( )( ). 22 lim0,0, 0,0( )( )., 0;,()(). nn n nmn AAf xf xAf xA xxx xxxxf xf xNnN xxm nNf xf x 充分性.设是任意一个满足的数列。已知对任意给定的当 时,恒有那么对于这个当的时候 故可知当时候 有那么由柯西收敛原 0 (1)(2)(1)(2) 00 () ,() lim,limlim()lim().: n nn nnnnn nnnn f x xxf x xxxxf xf xt 理可以知道数 列收敛。 下面我们证明 对于任意收敛于 的数列对应的数列都收敛于同一个实数。 若不然则存在,但我们如下定义数列 0 (1) (2) 0 0 2 . 21 lim,lim( ), ,lim,() lim( ) k n k nn nn nnn n xx xnk t xnk txf t xxxf x f x 易证得但是显然不存在 这与我们已证得矛盾。 综上所证有：对于任意数列若则数列都收敛于同一个实数。由 海涅原理可以知道存在。 000 000 00 5.( )0,0, ,( )( ). ( ),0,0,( )(); 2 , ( )( )( )( f xxxxxx f xf x f xxxxf xf x xxxx f xf xf xf 证明：在 点连续的充要条件是：任意给定的当的 时候 恒有 证明：必要性.若在 点连续 则对于当时,有 那么当时 有 00 00 00 000 )()( ) ( )()()( ). 22 0,0,( )( ). 0, xf xf x f xf xf xf x xxxxf xf x xxxxxf 充分性.已知当的时候 恒有那 么由于则对于任意满足的 总有 0 0 ( )(). ( ) xf x f xx 因此可知函数在 点连续。 xvi 0 6. 12 (1).cos; 13 3 :,3 ,32, 6 1212 coscos 1313 312(32)31 cos 3333 n mn nn x n NnN mN mmnn xx mn NNN N 证明下列极限不存在： 证明对于使得 2(3) cos 13 31431 cos 2cos(2) 33331 31331313 33 23133 2 N N NN NN NN NNN NNN 0 4333 . 6 236 因此由柯西收敛原理可知原数列发散。 212 ( 1) 0 ( 1)( 1) 212 (21)( 1)2( 1) (2).12; 22 :,2,21, 2 1212 1212 n mn NN n n n mn mn mn NN NN x NnN mN xx 证明对于使得 22 21 (21) 0 1 112 2 22 22. 2 NN N N 因此由柯西收敛原理可知原数列发散。 xvii 2 22 2 2 2 (3)sin; 2 sinsin22sin222 21 sinsin; 1 222 11 2 limsin2 n k xnn nk nnkkkkk k kkk k k 证明：当时 显然有 22 2 2 2 21. 21 sinsin2121sin212121 211 sinsin; 1 212121 11 21 limsin21211. k k nk nnkkkkk k kkk k kk 当时 显然有 2 1 limsin, 1 n n nn n 为偶数 于是有故原数列的极限不存在。 为奇数 0 ? 0 (4)cos ; sin1sin3,2,21 coscos2sin()sin()2sin1sin(41)2sin1sin3. n xn NmN nN mnmnmnN 证明：存在对于使得 于是由柯西收敛原理可知原数列发散。 0 0 (5)tan . sin1,22,21 sinsinsincossin cossin() tantansin()sin1. coscoscoscoscoscos n xn NmNnN mnmnnmmn mnmn mnmnmn 证明：存在对于使得 于是由柯西收敛原理可知原数列发散。 xviii 7.( )( ,),( ),lim( ),lim( )0. lim( ),0,0, ( )( );, 22 ( )( ( )( ) xx x f xafxf xxfx f xXxxX x f xf xxX f xf x f xf xxx ? 设在上可导单调下降 且存在 求证 证明：由于存在 根据柯西收敛原理可以知道：对于当时, 有在此我们令于是有 ) . 2 ( , ), ( )( ) ( ); ( ) ( )( ) ( )( ) 22 xx xx f xf x f xx fx xxf xf x fxfxx x 根据朗格朗日微分中值定理可以知道使得 那么由单调下降可以知道 . 2 0,( ),lim( )0. x x XxXx fxxfx 综上我们知道对于当时,有于是可知 0 1 1 8.( )(,),( )1, (),0,1,2,. (1)lim; (2)( ), (1), ; nn n n np mnnppii i n f xfxkx xf xn x xf x n mnp xxxxxx 设在上可导 且任给令 求证：存在 上述极限为的根 且是唯一的。 证明： 对于有 1 111 1 1 2 11210 ( )() ( )() ( ) , ii iiiiii ii iii i iiii mn f xf x xxf xf xxx xx xxf k xxkxxk xx xx ? ? 由于 拉格朗日中值定理 于是有 10 1101010 10 (1) log 101010 1 . 11 (1) 0,log1, ; 111 lim k np nnpnp i ii i ni n k k xx nN mn n n kk k xxk xxxxxx kk k Nm nN xx kkk xxxxxxxx kkk x 那么对于当的时候 有 于是由柯西收敛原理可知存在。 xix 11 1 (2)lim,()limlim(),( ) lim(lim),( ).lim( ) ( ), ( )( ) ( )( )( ) nnnnn nnn nnn nnn xAxf xxf xf x xfxAf AxAxf x Bf BAB f Af B ABf Af BABABfAB AB ? 设在等式两边取极限可得由函数的连续性 可以知道即于是可知为方程的一根。 另设若那么 ( ) ; ( , )( , ).( )1,( )1 ( ) f A BB Affxk xf x ? 其