武汉理工大学出版材料工程基础第一章答案徐德龙.pdf

1-1流体质点的位置用 表示，求其速 度的拉格朗日描述与欧拉描述。 , 22 , 22 , cb e cb ez cb e cb eyax ; 22 ; 22 ; 0 cb e cb e zcb e cb e yx uuu zyx 解：速度的拉格朗日描述 由已知条件得： e zy cb e zy cbx a ; ; 代入上式得速度的欧拉描述： 0; ; 2222 ; 2222 x y z yzyzyzyz eez ee yzyzyzyz eey ee u u u 1-2设流体运动的欧拉描述为 试求流体运 动加速度的欧拉描述和拉格朗日描述（a+b=0） , 0, 22 zyx ubyuaxu 解：加速度的欧拉描述为： 222 2002 axaaxa z u u y u u x u u u d du x z x y x x xx xa 22 2 byb z u u y u u x u u u d du y z y y y x yy ya 0 z u u y u u x u u u d du z z z y z x zz za 0 d dz , d dy , d dx 22 zyx ubyuaxu 由 积分得： ; 22 32 2 1 aaa ecx a ; 22 32 2 2 bbb ecy b 3 cz 0 2 2 c , 0 3 3 2 3 1 ba cc b bc a a czbyax 又因： 代入上式得：时刻，当 cz aaa e a ay aaa e a ax a a ; 222 ; 222 32 2 3 32 2 3 ）（ ）（ 所以：流体运动加速度的拉格朗日描述为 ; 0 ; 22 ; 22 3 2 2 3 2 2 a a a z a y a x a e a a y a e a a x 1-3 流体运动的速度由 给出，当=1时，求质点 p(1,3,2)的速度及加速度（即求速度和加速度的拉格朗日描述） xzyxu, 22 解：由题意，流体运动的速度的欧拉描述为 xzyx uuu zyx ; ; 22 xzu d dz yu d dy xu d dx zyx ; ; 22 2 3 3 21 2 c ;e ; 2 3 ezcycx积分得： 代入已知条件=1时刻，质点p的坐标为（1，3，2） ;2 ;3e ; 3 2 2 3 -1 21 eccc求得： 1 1 2 3 3 1 2 2ez ) 1(3 3 2 ey x 求得： 所以，流体运动的速度的拉格朗日描述为 )1 1 (2)1( 3 1 23 4 ;e3 ;4 3 e zyx uuu zyx 所以，流体运动加速度的拉格朗日描述为 ) 1 1 ( 8 );(2e3 ;12 )1 1 (2 3 3 )1( 3 1 4 3 e u u u z z y y x xaaa 1-4 流体运动的速度由 描述 （1）求其加速度的欧拉描述 （2）求矢径r=r(a,b,c,)的表达式和加速度的拉格朗日描述 （3）求流线和迹线 23 , 111 xyz xyz uuu 解：（1）加速度的欧拉描述为 2 22 1 2 1 4 1 2 xxx z u u y u u x u u u d du x z x y x x xx xa 21 6 y z u u y u u x u u u d du y z y y y x yy ya 0 z u u y u u x u u u d du z z z y z x zz za 分别对速度的欧拉描述进行积分得： 1 ; 1 3 ; 1 2 z u d dzy u d dyx u d dx zyx 因： 1 1 ;1 3 3 2 2 1 czcycx所以： （2）由题意得： =0时，x=a, y=b z=c ;代入上式有： 1 1 1 b; ; 32 321 czbyax cccac所以： c cz u b by u a ax u z y x 1 ;13 1 ;12 1 2 3 2 所以： 0 ;16 ;2 , z ab u aa u a z y y x x ：拉格朗日描述的加速度所以 （3）由流线方程得： ; 1 1 3 1 2 3 3 1 2 2 1 1 3 1 2 1 c z y c z x c y x z dz y dy x dx 即 质点的迹线方程为： 1 ; 1 3 ; 1 2 z u d dzy u d dyx u d dx zyx 因： 分别积分得： 1 1 ;1 3 3 2 2 1 czcycx所以： =0时，x=a, y=b z=c ;代入上式有： 1 1 1 b; ; 32 321 czbyax cccac 质点的迹线方程为 所以： 9 处流体质点的迹线。时在 时刻的流线方程；求 为常数，与其中为设流体运动的欧拉描述 cba akaxkky ,0 2 1 , 0u,u,u 61 zyx 解：解： （1） 由流线方程由流线方程 axk dy ky dx kydydxaxkCkyxkakx 22 2 1 2 1 1 22 2 1 Cxayx （2） 由迹线方程定义可写出由迹线方程定义可写出 3 0 2 ; 1 ; z y x u d dz axku d dy kyu d dx 对（对（2）式求二阶导数）式求二阶导数 a d dx k d yd 2 2 又又 因因 ky d dx kayk d yd 2 2 2 二阶线性非齐次二阶线性非齐次 常微分方程常微分方程 所以，求得其通解为 k a kCkCysincos 21 akCkC dakkCkkCx akkCkkCakkCkkCkyu d dx x cossin sincos sincossincos 43 21 2121 所以： 代入（1）式得： 则欧拉描述的迹线为： 5 21 43 sincos cossin Cz k a kCkCy akCkCx k a bCa 14 ,C czb,ya,x0：的已知条件可求的时，代入 所以，在（a,b,c）处 流体质点的迹线为 5 2 3 sincos cossin Cz k a kCk k a by akakCx 的迹线。通过 时的流线及试求通过设流体的速度为 1, 1 0, 1, 1, 0,u 71 x yx yxuyux zy 解：解： （1） 由流线方程 对此积分可得, y dy x dx 2 11111 CC CeyxCynxn c 得：，代入过空间点 2 111yx的流线为：，则通过空间点 （2） 由迹线方程 1Cy , 1 0, 21 eeCx d dz y d dy x d dx 对此积分可得 , 0, 0110 21 CC得：，时过空间点代入已知条件，当 的迹线方程为：，时过空间点所以当110 1 1 y x 动是否有旋。流体是否可压，流体运求散度和旋度，并判断 中的流体，描述流体速度用同样还是习题 1 , 1 3 , 1 2 u4 81 x z u y u x zy 解： （1） 根据散度和旋度的定义，可得： 1 6 1 1 1 3 1 2 z u y u x u uudiv z y x 0 k y u x u j x u z u i z u y u uuu zyx kji uurot x y zx y z zyx （2） 由连续性方程得，当流体不可压时应满足： 0 u 0 1 6 u 又因 所以流体可压缩 0 urot 又因由上面得 所以流体无旋 1.1 一块面积为 2 40 45cm，高为1cm的木块，质量为5kg，沿着涂有润滑油的斜面等速向 下运动。已知1 / ,1um smm，求润滑油的动力粘性系数。 解：解： 根据牛顿粘性定律：根据牛顿粘性定律： du FA dy 2 0.4 0.450.18Am 3 0 1 1000 1/ 1 100 du s dy 5 sin5 9.818.84 13 FmgN 18.84 0.10/ 0.18 ( 1000) F Pa s du A dy 1-10 1-11 图示为一水平方向运动的木板，其速度为1m/s。平板如在油面上， ，油的 。求作用在 平板单位面积上的阻力。 10mm0.09807Pa s 解：解： 1-12 试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续条件： 解：由流体的连续性方程 得，当流体不可压缩 时， 0 divu d d 0 0 z u y u x u divu z y x 即： （1） 0022 0 2 22 xx z u y u x u divu uxyuyxu z y x zyx 所以： 满足不可压缩的条件 （2） 0000 222222 z u y u x u divu yxuxzuzyu z y x zyx 所以： 满足不可压缩的条件 1-13 试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续条件： （3） 由题有由题有 (2),2,0 y xz u uu kxyky xyz (2)20(23 )0 y xz u uu kxykykxy xyz 该流场不满足不可压连续性方程该流场不满足不可压连续性方程 （4） 由题有由题有 cos,cos,0 y xz u uu kyxykxxy xyz cos(cos)0()cos0 y xz u uu kyxykxxyk yxxy xyz 该流场不满足不可压连续性方程该流场不满足不可压连续性方程 17 1.2 在封闭端完全真空的情况下，水银柱差 2 50Zmm，求盛水容器液面绝对压强 1 p 和液 柱高度 1 Z 。 解：由流体静压强分布规律：解：由流体静压强分布规律： 0 ppgh 和等压面的关系得：和等压面的关系得： 222111 pgZpgZ 而左端为真空，即而左端为真空，即 2=0 p 所以：所以： 3 122 13.6 109.8 0.056664PapgZ 3 22 1 1 13.6 109.8 0.05 0.68m 1000 9.8 gZ Z g 1-15 18 习题习题 1.3 水管上安装一复式水银测压计，如图 1.3 所示。问 1234 ,p ppp 哪个最大？哪个最小？ 那些相等？为什么？ 解： 题中， 1 p 最小， 2 p 和 3 p 相等，而 4 p 最大。 由流体静压强分布规律及等压面的关系得 ： 1222B ppghpgh 汞水 对与等压面B-B， 23 2 3 pp 、 断面符合等压面的条件 静止、连续的同种流体，又在同一水平面上 所以， 3343 433343 , 0 A AAppghpgh ppghghpp 汞水 汞水 对于等压面， A A BB 1-16 1 h 2 h 3 h 4 h 2122221 0 ppghghghpp 汞汞水水 所以， 所以： 19 习题习题 1.4 封闭水箱各测压管的液面高程为： 124 100,20,60cmcmcm ，问 3 为多少？ 解： 由流体静压强分布规律及等压面的关系得 ： 0 ppgh 3013 () ppg 水 3023 () ppg 水银 得： 2313 ()()gg 水银水 33 21 3 33 13.6 109.8 0.2 1 109.8 1 0.136 13.6 109.8 1 109.8 gg m gg 水银水 水银水 1-17 。 ，求 ，称为复式测压计中各液面高 55 4321 P5m. 3 0m. 15m. 26m. 00m. 3 1-18 解： 由流体静压强分布规律及等压面的关系得 ： 50 3.94.4 101.325476.672 578 ppgg kPa 汞水 232103 2332102 gg gg22 水汞 水汞 所以， 断面，对于 PP PPP 454323210 454335 4554334 gggg gg gg44 水汞水汞 水汞 水汞 所以， 断面，对于 P PP PPP 21 1.10 设两平板之间的距离为 2h， 平板长宽皆为无限大， 忽略质量力， 如图所示。 试用NS 方程推导不可压恒定流体的流速分布。 解：由NS方程： 2 1 () 3 b du Fpuu dt 由连续性方程：由连续性方程： ()0divu t 因为为恒定流，因为为恒定流， 且因为不可压，且因为不可压， 粘性不变粘性不变 ， 且平板长宽皆为无限大，且平板长宽皆为无限大， 0,0 xy uu 忽略质量力忽略质量力 根据以上条件，根据以上条件，NS方程与连续性方程可化为：方程与连续性方程可化为： 0( ) z u a z 2 2 0( ) z up b zx 0( ) p d x 0( ) p c y 0 z u z 常数 1-19 由由(c)，(d)两式可知，两式可知， ( )pp z由由(b)式，有：式，有： 2 2 z up zx 由于式（由于式（e）左方只是）左方只是Z的函数，右方只是的函数，右方只是X的函数，双方要的函数，双方要 相等必须同时为常数，于是：相等必须同时为常数，于是： c p p z 即即p只随只随z线性变化，如果线性变化，如果Z方向，方向，l长度上的压降为长度上的压降为 P，即：，即： dpp dzl 式（式（b）可改写为：）可改写为： 2 2 z up lx 积分得：积分得： 2 12 2 z p uxC xC l 代入边界条件：代入边界条件： ,0 z xh u 2 12 0, p CCh l 得得 所以所以 22 1 () 2 z p uxh l （e） 断面间的水头损失。方向。并计算水流经两试判断水在管中的流动 。点流速，点压强点压强水在管中流动时， 。，大管直径直径前后相连所组成，小管管路由不同直径的两管 smuBmkNPBmkNPA mdmd BBA BA /1/40,/70 4 . 02 . 0 22 1-20 解： 假设水由A流向B,且为紊流，根据伯努力方程有： 22 12 22 AABB AB1A B pupu ZZh gggg 12 1 由连续性方程有： AABB u Au A 由题： 2 70/ A PkN m 2 40/ B PkN m 1 / B um s 1m B 取A点所在的面为基准面，则有Z，将值代入以上两式中： 2 2 10.4 4/ 0.2 BB A A u A um s A 22 () 2 ABAB 1A BAB ppuu hZZ gg 3322 70 1040 1041 (0 1)3.820 1000 9.82 9.8 m 5 6 4 0.1 3.05 102000 1.31 10 AA A u D Re 此时，为紊流，与假设相符 5 6 1 0.2 1.53 102000 1.31 10 BB B u D Re ，为紊流，也与假设相符。 所以，假设成立，水在管中是从A点流向B点，且两断面间的水头损失为3.82m 25 1.6 水由图中喷嘴流出，管嘴出口75dmm，补考虑损失，其它数据见图，计算 H 值（以 m 计） ，p 值（以 2 /kN m计） 。 解：由伯努利方程，忽略阻力损失解：由伯努利方程，忽略阻力损失: 对对0-0面与面与3-3面，取面，取3-3面中心线为面中心线为 基准面有：基准面有： 22 0033 03 22 PvPv HH gggg 其中： 0 HH， 3 0H , 03 0PP， 0 0v ，得： 2 3 2 v H g 对对1-1面与面与2-2面，取面，取2-2面中心线为基准面有：面中心线为基准面有： 22 1122 12 22 PvPv HH gggg 121 HHZ 22 11221 () 2 gZPPvv 1-21 对对p-p面与面与3-3面，取面，取3-3面中心线面中心线 为基准面有：为基准面有： 2 2 33 3 22 pp p Pv Pv HH gggg 式中： 3 0 p HH, p PP， 3 0P ， 2p vv，得： 22 32 2 vv P 由连续性方程有：由连续性方程有： 112233 v Av Av A 222 112233 111 444 dvdvdv带入数据得：带入数据得： 1 2 0.64vv 32 16/9vv 由静力学定律可得：由静力学定律可得： 11222 g(0.175)g0.175gPZZPZ 水银 即：即： 112 g0.175gg0.175ZPP 水银 2 8.64/vm s 2 22 33 16 11.79 229 vv Hm gg 222 22 22 4 32 16 () 9 8.06 10 22 vv vv PPa 27 1.7 油沿管线流动，A 断面流速为2/m s，不计损失，求开口 C 管中的液面高度（其它数 据见图） 。 解：由题，根据连续性方程：解：由题，根据连续性方程： AABB u Au A 2 2 20.15 4.5/ 0.1 AA B B u A um s A 取取B点为基准点，由题，满足伯努利方程，忽略阻力损失，有：点为基准点，由题，满足伯努利方程，忽略阻力损失，有： 22 12 22 AABB AB pupu ZZ gggg 取题取题1所得油的粘性系数：所得油的粘性系数： 2 0.15 32000 0.1 AA A u D Re 4.5 0.15 6.752000 0.1 BB B u D Re 所以均为层流：所以均为层流： 2 AB 1-22 1.8 如果管道的长度不变，通过的流量不变，欲使沿程水头损失减少一半，直径需增大百 分之几？试分别讨论下列三种情况： （1）管内流动为层流 64 Re ； （2）管内流动为光滑区 0.25 0.3164 Re ； （3）管内流动为粗糙区 0.25 0.11() K d ； 解：由题，要保持流量不变，即：解：由题，要保持流量不变，即： ()uAC常数 对于改变的前后两种情况，由连续性方程有：对于改变的前后两种情况，由连续性方程有： 2 111 2 2 22 u Au d u Ad 要使水头损失减半，即：要使水头损失减半，即： 12 2 ll hh 对问（对问（1）将：）将： （a） 64 Re 2 111 2 2 22 u Au d u Ad 和 代入式代入式a有：有： 24 2 11 1 4 11222 64641 2 Re2Re2 udll u dgdgd 24 2 11 1 4 1122 122 64641 2 22 udll u u du d dgdgd 即：即： 1-23 4 211 21.189ddd 管径增大百分率为：管径增大百分率为： 11 1 1.189 100%18.9% dd d 对问（对问（2）将：）将： 0.25 0.3164 Re 2 111 2 2 22 u Au d u Ad 和 代入式代入式a有：有： 24 2 11 1 0.250.254 11222 0.31640.31641 2 Re2Re2 udll u dgdgd 0.25 5 21 5 12 Re 2 Re d d 0.25 22 5 1 5 11 2 2 u d d u d d 即：即： 0.25 5 11 5 22 2 dd dd 19 211 161.157ddd 11 1 1.157 100%15.7% dd d 管径增大百分率为：管径增大百分率为： 对问（对问（3）将：）将： 2 111 2 2 22 u Au d u Ad 和 0.25 0.11 K d 0.250.25 224 111 4 11222 0.112 0.11 22 uudKlKl ddgddg d 即：即： 0.25 5 21 5 12 2 dd dd 21 211 161.141ddd 11 1 1.141 100%14.1% dd d 管径增大百分率为：管径增大百分率为： 2 1052.5 10/ cmcmcm m sd 123 1 水从水箱流经直径为d、d、d的管道流入大气中。当 出口流速为时，求（1）容积流量及质量流量；（2）d 及管段的流速。 1-24 2 2 2 33 3 333 3.142.5 10 104.9 10/ 44 V d Qu Aums 33 1.0 104.9 104.9/ mV QQkg s 解：（1） （2）有连续性方程： 112233 u Au Au A 222 312 123 444 ddd uuu 222 112233 u du du d 2 22 3 13 22 1 2.5 10 100.625/ 10 10 d uum s d 2 22 3 23 22 2 2.5 10 102.5/ 5 10 d uum s d 0 水沿管线下流，若压力计的读书相同，求需要的小管直径d ，不计损失。 1-27 解： 1122 u Au A根据连续性方程 2 1 211 222 2000 0.040.12 3/ AD uuum s Addd 62 1.0 10/ms 水的粘性系数 53 1 6 3 0.2 Re6 102 10 1.0 10 u D 22 1122 12 2 11 2 0 2 4 0 22 910.12 30 22 0.129 / 30.121 22 upup HH gggg pp gggdg dm gg 1.0所以，水沿管线的流动为紊流，动能修正系数，根据总流伯努力方程， 不计阻力损失： 1.8 如果管道的长度不变，通过的流量不变，欲使沿程水头损失减少一半，直径需增大百 分之几？试分别讨论下列三种情况： （1）管内流动为层流 64 Re ； （2）管内流动为光滑区 0.25 0.3164 Re ； （3）管内流动为粗糙区 0.25 0.11() K d ； 解：由题，要保持流量不变，即：解：由题，要保持流量不变，即： ()uAC常数 对于改变的前后两种情况，由连续性方程有：对于改变的前后两种情况，由连续性方程有： 2 111 2 2 22 u Au d u Ad 要使水头损失减半，即：要使水头损失减半，即： 12 2 ll hh 对问（对问（1）将：）将： （a） 64 Re 2 111 2 2 22 u Au d u Ad 和 代入式代入式a有：有： 24 2 11 1 4 11222 64641 2 Re2Re2 udll u dgdgd 24 2 11 1 4 1122 122 64641 2 22 udll u u du d dgdgd 即：即： 1-30 34 4 211 21.189ddd 管径增大百分率为：管径增大百分率为： 11 1 1.189 100%18.9% dd d 对问（对问（2）将：）将： 0.25 0.3164 Re 2 111 2 2 22 u Au d u Ad 和 代入式代入式a有：有： 24 2 11 1 0.25