学科教育论文-《医用高等数学》中对数求导法的合理性与可行性探讨.doc学科教育论文-《医用高等数学》中对数求导法的合理性与可行性探讨.doc

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学科教育论文医用高等数学中对数求导法的合理性与可行性探讨【摘要】对数求导法是高等数学中求函数导数的一种重要的方法,其整体思路是当函数式较复杂(含乘、除、乘方、开方、指数函数、幂指函数等)时,可先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数。大多数教科书对方程两边同时取对数是否超越对数函数定义域允许范围都没作讨论,而这也是很多学生对对数求导法是否具备合理性与可行性质疑的焦点。就此问题展开讨论,验证了对数求导法的合理性与可行性。【关键词】幂指函数对数求导法显函数隐函数1引言高等数学中求函数导数中一种重要方法就是对数求导法,它适用对象主要是连乘除、指数函数、幂函数。方法是,若求函数FX的导数,先取其对数,再对取过对数的函数求导,得到[LNFX]′F′XFX,于是得到结果F′XFX[LNFX]′注意到,上面这个取对数的过程可能会遇见FX0的情况,或者FX存在函数值为0的点,遇到上述两种情况时对数求导法是否依然适用而大多数教科书对此都没作解释,而只是对方法加以介绍之后就引入若干例题,如科学出版社出版的医学高等数学,天津科学技术出版社出版的医用高等数学等教材,再查高等教育出版社出版的高等数学,天津大学出版社出版的高等数学等教材也同样如此。善于思考的学生经常会有这样的疑问如果FX≤0,那么这种方法岂不是不不合理了实际上,我们可以证明不论FX如何选取,对数求导法都是具备合理性与可行性的。2准备工作所谓对数求导法,首先我们先从几个用对数求函数导数求解的例题着手,以此来给对数求导法做一个简单的介绍。例1用对数求导法求下列函数的导数1YXSINX;2YXSINX1EX;(3)Y5X55X22。4YX23X4X15;【对数求导法的原理】利用指数函数的换底公式FXELNFX。【对数求导法的方法】在求显函数YFX的导数之前,先取其对数化为隐函数,再对取过对数的函数利用隐函数求导法关于X求导,得LNY′F′XFX,于是可以得到结果F′XLNY′FX【对数求导法适用对象】含若干因子乘、除、乘方、开方的函数;指数函数;幂指函数等。例如例1中(1)、(2)两例的求解过程如下1解在YXSINX两端同时取对数,得到LNYSINXLNX(1)在上式两端分别对X求导,并注意到Y是X的函数,得1YY′COSXLNXSINXX所以,我们有Y′YCOSXLNXSINXXXSINXCOSXLNXSINXX(2)解在YXSINX1EX两端同时取对数,得到LNY12[LNXLNSINX12LN1EX](2)在上式两端分别对X求导,并注意到Y是X的函数,得Y′Y12[1XCOSXSINX12EX1EX],于是Y′Y[12XCOSX2SINXEX41EX]12XSINX1EX[1XCOSXSINXEX21EX]其余两个例子我们可采取同样的方法对函数求导。注意到(1)式若有意义,要求必须有X0,Y0,而原函数YXSINX的定义域是X∈R,而且Y的取值也可以是负数或者是零。同样,(2)式中若LNX有意义,则必有X0,同样LN1EX要有意义则必须有X0。那么,从严格的角度来看,(2)式是无意义的。那么,是不是对数求导法对这道题是不适用的呢不是的,我们在下文将会对这个问题作出分析。3分析首先我们必须要知道对数求导法最初是有条件限制的,即【对数求导法的必要条件】FX0在讲对数求导法的过程中,我们大多数老师会告诉学生,对数求导法有其必要条件FX。但是,一般来说,这个验证FX0的过程是异常繁琐的,而且还会碰到FX≤0的情况,例如例题中的第(4)小题,当X取值小于等于5时。下面我们分别就FX0和FX含取值为0的点这两种情况对数求导法的合理与可行性。①FX0时针对这种情况我们可以对函数取绝对值之后再利用对数求导法求解如下[LN|Y|]′|FX|′|FX|[FX]′FXF′XFX∴F′X[LN|Y|]′FX而我们知道[LN|Y|]′1Y,所以实际上最终得到的结果和FX0时是一样的。那么,我们是不是可以考虑把对数求导公式改写成先取绝对值再求导呢这样,就可以避免了FX0带来的尴尬。但是,我们注意到在LN|FX|的右端分项表达式中,这样做不仅带来了麻烦,还对结果无任何影响。所以,我们不妨假定FX和右端各连乘因子均为正,因此就不再取绝对值了。在解题过程中我们经常连“不妨取FX0”这句话也省略了。
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