2018_2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何章末复习课学案苏教版.docx

第3章 空间向量与立体几何体系构建自我校对数乘运算空间向量的数量积垂直夹角数乘结合律线面关系点面距题型探究空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，这是用向量法求解立体几何问题的基础沿着正四面体OABC的三条棱，的方向有大小等于1,2和3的三个力f1，f2，f3，试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值. 【导学号：71392211】精彩点拨用向量表示f1，f2，f3，再根据模与夹角的向量运算公式求解规范解答如图所示，用a，b，c分别代表棱，上的三个单位向量，则f1a，f22b，f33c，则ff1f2f3a2b3c，|f|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc144cos 606cos 6012cos 601423625，|f|5，即所求合力的大小为5.且cosf，a，同理可得：cosf，b，cosf，c.再练一题1如图31，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0.其中正确结论的序号是_图31解析容易推出：0，所以正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是.答案空间平行与垂直的证明向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等利用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下：(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则abab0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明平面内一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理证明，即用平面内两不共线向量线性表示直线的方向向量(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，边长为2a，ADDE2AB，F为CD的中点图32(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE. 【导学号：71392212】精彩点拨建立空间直角坐标系，(1)利用向量，可用平面BCE内的两个不共线向量表示证明；(2)题可利用(1)的结论证明规范解答依题意，以AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为z轴，过点A且垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F为CD的中点，F.(1)易知，(a，a，a)，(2a,0，a)()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)，(a，a,0)，(0,0，2a)，0，0，即AFCD，AFED.又CDEDD，AF平面CDE.又AF平面BCE，平面BCE平面CDE.再练一题2正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF45，求证：EF平面BCE.证明因为ABE为等腰直角三角形，所以ABAE，AEAB.又因为平面ABEF平面ABCD，AE平面ABEF，平面ABEF平面ABCDAB，所以AE平面ABCD，所以AEAD，因此AD，AB，AE两两垂直以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设AB1，则AE1，B(0,1,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)因为FAFE，AEF45，所以AFE90，从而F，所以，(0，1,1)，(1,0,0)00，0，所以EFBE，EFBC.因为BE平面BCE，BC平面BCE，BCBEB，所以EF平面BCE.利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角，一般有两种方法：即几何法和向量法，利用向量法只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解；(2)直线与平面所成的角： 要求直线l与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线l的方向向量a夹角的余弦cosn，a，易知n，a或者n，a；(3)二面角：如图33，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角图33如图34，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，ACBC，且ACBC.图34(1)求证：AM平面EBC；(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小；(3)求二面角AEBC的大小精彩点拨(1)根据判定定理求解；(2)由(1)知是平面EBC的一个法向量，先求，直线AB与平面EBC所成的角为90，；(3)求出平面AEB的法向量n，计算cosn，再确定二面角AEBC的大小规范解答(1)证明：四边形ACDE是正方形，EAAC.平面ACDE平面ABC，EA平面ABC.可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设EAACBC2，则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)M是正方形ACDE的对角线的交点，M(0,1,1)(0,1,1)，(0,2，2)，(2,0,0)，0，0，AMEC，AMCB.又ECCBC，AM平面EBC.(2)AM平面EBC，为平面EBC的一个法向量(0,1,1)，(2,2,0)，cos，60，直线AB与平面EBC所成的角为30.(3)设平面EAB的法向量为n(x，y，z)，则n且n，n0且n0.即取y1，x1，n(1，1,0)又为平面EBC的一个法向量，且(0,1,1)，cosn，.设二面角AEBC的平面角为，由图可知为锐角，则cos |cosn，|，60.二面角AEBC等于60.再练一题3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值. 【导学号：71392213】解不妨设正方体的棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)，则(1,0,2)，(1，1,2)，|，|，1043.又|cos，cos，cos，异面直线AE与CF所成角的余弦值为.用空间向量解决空间中的探索性问题用空间向量研究立体几何中的探索性(或存在性)问题的关键是构建向量及空间直角坐标系，然后利用空间向量的数量积、向量模的投影公式，处理空间平行、垂直等位置关系问题，可避开传统的“作证算”中的难点，具有较强的可操作性提醒：利用空间几何体的位置关系转化为向量运算的关系式，建立方程是动点存在性问题得以解决的关键在四棱锥PABCD中，ABCD是菱形，ABC60，PAACa，PBPDa，点E在PD上，且PEED21.在PC上是否存在点F，使BF平面AEC？并证明你的结论. 【导学号：71392214】精彩点拨易知PA平面ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，由BF平面AEC得12，确定，的坐标及系数1，2即可规范解答以A为坐标原点，AD，AP所在直线分别为y轴，z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示由题设条件可得，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B，C，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E，所以，(0,0，a)，设点F是棱PC上的点，其中01，则.令12，得即解得，1，2，即，所以当F是PC的中点时，共面又BF平面AEC，所以BF平面AEC.再练一题4如图35，矩形ABCD中，AB1，BCa，PA平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，问BC边上是否存在点Q，使？图35解由题意知PA，AB，AD两两垂直，以A点为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1，a,0)，D(0，a,0)，设P(0,0，b)，假设BC边上存在点Q，使，且(01)，则Q(1，a,0)(1，a，b)，(1，aa,0)，0，1a(aa)0，即a22a210.a0，把视为关于的一元二次方程令(a2)24a20解得a2.当0a2时，方程无实数解当a2时，方程有实数解综上可知，当0a2时，不存在满足条件的点Q，当a2时，存在满足条件的点Q.数形结合的思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起如图36(1)，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD2，ABC60，E是BC的中点将ABE沿AE折起，使平面BAE平面AEC(如图36(2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD的夹角(1)(2)图36精彩点拨在图(1)中易知ABE和ADE都是等边三角形，取AE中点M，连接BM，DM，由平面BAE平面AEC知，BM平面AEC，以M为原点建立空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角计算规范解答取AE中点M，连接BM，DM.因为在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点，所以ABE与ADE都是等边三角形，所以BMAE，DMAE.又平面BAE平面AEC，所以BMMD.以M为原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，则E(1,0,0)，B(0,0，)，C(2，0)，D(0，0)，所以(2,0,0)，(0，)，设平面BCD的法向量为m(x，y，z)，由取y1，得m(0,1,1)，又因为平面ABE的一个法向量(0，0)，所以cosm，所以平面ABE与平面BCD的夹角为45.再练一题5在直四棱柱中，AA12，底面ABCD是直角梯形，DAB为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，试求异面直线BC1与DC夹角的余弦值解如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2，4,0)，C(0,1,0)，所以(2，3,2)，(0，1,0)所以cos，.故异面直线BC1与DC夹角的余弦值为. 转化与化归的思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要如图37所示，在矩形ABCD中，AB4，AD3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好在AB上，求平面BAC与平面ACD夹角的余弦值. 【导学号：71392215】图37精彩点拨求两平面的夹角，可以作出垂直于棱的两个向量，转化为求这两个向量的夹角，但应注意两向量的始点应在二面角的棱上规范解答如图所示，作DGAC于G，BHAC于H，在RtADC中，AC5，cosDAC.在RtADG中，AGADcosDAC3，DG，同理cosBCA，CH，BH.()0，()()330，又|，cos，即所求平面BAC与平面ACD夹角的余弦值为.再练一题6在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AEBF，求证：A1FC1E.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设AEBFx，E(a，x,0)，F(ax，a,0)，(x，a，a)，(a，xa，a)(x，a，a)(a，xa，a)axaxa2a20，即A1FC1E. 函数与方程思想共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理都是由几个向量间的等式关系组成的，因此解决相关问题时，常用到方程思想而利用空间向量的坐标运算解决已知夹角、距离的问题时，常需要建立方程求解，或者利用函数求最值图38如图38，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a)(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小；(3)当MN最小时，求平面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值. 【导学号：71392216】精彩点拨规范解答(1)以B为坐标原点，分别以BA，BE，BC为x，y，z轴建立空间直角坐标系Bxyz(图略)，由CMBNa，M，N，|(0a)(2)由(1)，得|，所以当a时，|min，即M，N分别移动到AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为.(3)取MN的中点P，连接AP，BP(图略)，因为AMAN，BMBN，所以APMN，BPMN，APB即为二面角的平面角MN的长最小时，M，N.由中点坐标公式，得P，又A(1,0,0)，B(0,0,0)，.cosAPB.平面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值为.再练一题7已知空间的一组基底a，b，c，p3a2bc，mabc，nabc，试判断p，m，n是否共面解显然m与n不共线，设pxmyn，则3a2bcx(abc)y(abc)(xy)a(xy)b(xy)c.因为a，b，c不共面，所以而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面链接高考1如图39，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.图39(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值解在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.AA1平面ABCD，AA1AE，AA1AD.如图，以为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，ABAD2，AA1，BAD120，A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)，cos，.因此，异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为(，0,0)，设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量又A1B(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3则y，z2，m(3，2)为平面BA1D的一个法向量cos，m.设二面角BA1DA的大小为，则|cos |.0，sin .因此二面角BA1DA的正弦值为.2如图310，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点图310(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值解(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90得BCAD，又BCAD，所以EFBC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则 (x1，y，z)，(x，y1，z)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20. 又M在棱PC上，设，则x，y1，z. 由解得(舍去)，或所以M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.因此二面角MABD的余弦值为.3.如图311，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.图311(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值. 【导学号：71392217】解(1)证明：由题设可得ABDCBD，从而ADCD.又ACD是直角三角形，所以ADC90.取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO.又因为ABC是正三角形，故BOAC，所以DOB为二面角DACB的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2，又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.所以平面ACD平面ABC.(2)由题设及(1