2019版高考数学第3章导数及其应用2第2讲导数与函数的单调性教案.docx

第2讲导数与函数的单调性1函数的单调性与导数的关系条件结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)内单调递增f(x)0f(x)在(a，b)内单调递减f(x)0f(x)在(a，b)内是常数函数2.由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0，当x(a，b)时f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递增；f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递减(2)f(x)0(0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件提醒利用导数研究函数的单调性，要在定义域内讨论导数的符号 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()答案：(1)(2) 函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A先增后减B先减后增C增函数D减函数解析：选D.因为f(x)sin x10.所以f(x)在(0，)上是减函数，故选D. (教材习题改编)函数f(x)的导函数f(x)有下列信息：f(x)0时，1x2；f(x)0时，x2；f(x)0时，x1或x2.则函数f(x)的大致图象是()解析：选C.根据信息知，函数f(x)在(1，2)上是增函数在(，1)，(2，)上是减函数，故选C. (教材习题改编)函数f(x)exx的单调递增区间是_解析：因为f(x)exx，所以f(x)ex1，由f(x)0，得ex10，即x0.答案：(0，) 已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则实数a的最大值是_解析：f(x)3x2a0，即a3x2，又因为x1，)，所以a3，即a的最大值是3.答案：3利用导数判断(证明)函数的单调性 典例引领 (2017高考全国卷节选)已知函数f(x)ex(exa)a2x.讨论f(x)的单调性【解】(分类讨论思想)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f(x)e2x，在(，)单调递增若a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增若a0，则由f(x)0得xln.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在单调递减，在单调递增导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f(x)；(2)确认f(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；若a0，则当x时，f(x)0，当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递减，则2，即a.所以实数a的取值范围是(，0. 导数与函数单调性的关系(1)f(x)0(或0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f(x)0(或0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件 利用导数研究函数的单调性的思路根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中含有参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这个点不止一个，则要根据参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，在分类解决问题后要整合为一个一般的结论 化归转化思想的应用(1)已知函数f(x)在D上单调递增求参数的取值范围，常转化为f(x)0在D上恒成立，再通过构造函数转化为求最值或图象都不在x轴下方的问题，已知函数f(x)在D上单调递减求参数的取值范围，常转化为f(x)0在D上恒成立，再通过构造函数转化为求最值或图象都不在x轴上方的问题(2)已知函数f(x)在D上不单调，将其转化为其导数在该区间不会恒大于零或恒小于零；构造函数，通过构造函数，把复杂的函数转化为简单的函数 易误防范(1)求单调区间应遵循定义域优先的原则(2)注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别(3)利用导数求函数的单调区间时，要正确求出导数等于零的点，不连续点及不可导点(4)若f(x)在给定区间内有多个单调性相同的区间不能用“”连接，只能用“，”隔开或用“和”连接1函数f(x)1xsin x在(0，2)上的单调情况是()A增函数B减函数C先增后减D先减后增解析：选A.在(0，2)上有f(x)1cos x0恒成立，所以f(x)在(0，2)上单调递增2函数f(x)(a0)的单调递增区间是()A(，1) B(1，1)C(1，)D(，1)或(1，)解析：选B.函数f(x)的定义域为R，f(x).由于a0，要使f(x)0，只需(1x)(1x)0，解得x(1，1)3(2018太原模拟)函数f(x)的图象大致为()解析：选B.由f(x)，可得f(x)，则当x(，0)和x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增又当x0时，f(x)0，故选B.4(2018四川乐山一中期末)f(x)x2aln x在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围为()Aa1 Ba1Ca2Da2解析：选D.由f(x)x2aln x，得f(x)2x，因为f(x)在(1，)上单调递增，所以2x0在(1，)上恒成立，即a2x2在(1，)上恒成立，因为x(1，)时，2x22，所以a2故选D.5函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCcabDbca解析：选C.因为当x(，1)时，(x1)f(x)0，所以f(x)0，所以函数f(x)在(，1)上是单调递增函数，所以af(0)fb，又f(x)f(2x)，所以cf(3)f(1)，所以cf(1)f(0)a，所以cab，故选C.6函数f(x)ln x的单调递减区间是_解析：因为f(x)ln x，所以函数的定义域为(0，)，且f(x)，令f(x)0，解得0x5，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，5)答案：(0，5)7若f(x)xsin xcos x，则f(3)，f，f(2)的大小关系为_(用“”连接)解析：函数f(x)为偶函数，因此f(3)f(3)又f(x)sin xxcos xsin xxcos x，当x时，f(x)0.所以f(x)在区间上是减函数，所以ff(2)f(3)f(3)答案：f(3)f(2)f8(2018张掖市第一次诊断考试)若函数f(x)x2x1在区间(，3)上单调递减，则实数a的取值范围是_解析：f(x)x2ax1，因为函数f(x)在区间(，3)上单调递减，所以f(x)0在区间(，3)上恒成立，所以，即，解得a，所以实数a的取值范围为，)答案：，)9设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0，6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)因为f(x)a(x5)26ln x，故f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0，6)在切线上，可得616a8a6，解得a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x2或3.当0x2或x3时，f(x)0；当2x3时，f(x)0，故f(x)的单调递增区间是(0，2)，(3，)，单调递减区间是(2，3)10已知函数g(x)x3x22x5.(1)若函数g(x)在(2，1)内为减函数，求a的取值范围；(2)若函数g(x)在(2，1)内存在单调递减区间，求a的取值范围解：因为g(x)x3x22x5，所以g(x)x2ax2.(1)法一：因为g(x)在(2，1)内为减函数，所以g(x)x2ax20在(2，1)内恒成立所以即解得a3.即实数a的取值范围为(，3法二：由题意知x2ax20在(2，1)内恒成立，所以ax在(2，1)内恒成立，记h(x)x，则x(2，1)时，3h(x)2，所以a3.(2)因为函数g(x)在(2，1)内存在单调递减区间，所以g(x)x2ax20在(2，1)内有解，所以a.又x2.当且仅当x即x时等号成立所以满足要求的a的取值范围是(，2)1(2018安徽江淮十校第三次联考)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A1a2Ba4Ca2D0a3解析：选A. 易知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)x，由f(x)x0，解得0x3.因为函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，所以解得1a2，选A.2(2018豫南九校联考)已知f(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，满足f(x)2f(x)0，且f(1)0，则f(x)0的解集为()A(，1) B(1，1)C(，0)D(1，)解析：选A.设g(x)，则g(x)0在R上恒成立，所以g(x)在R上递减，又因为g(1)0，f(x)0g(x)0，所以x1.3已知函数f(x)ln xax，g(x)(xa)ex，a0，若存在区间D，使函数f(x)和g(x)在区间D上的单调性相同，则a的取值范围是_解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)a，由a0可得f(x)0，即f(x)在定义域(0，)上单调递减，g(x)ex(xa)ex(xa1)ex，令g(x)0，解得x(a1)，当x(，a1)时，g(x)0，当x(a1，)时，g(x)0，故g(x)的单调递减区间为(，a1)，单调递增区间为(a1，)因为存在区间D，使f(x)和g(x)在区间D上的单调性相同，所以a10，即a1，故a的取值范围是(，1)答案：(，1)4定义在R上的奇函数f(x)，当x(，0)时f(x)xf(x)0恒成立，若a3f(3)，b(loge)f(loge)，c2f(2)，则a，b，c的大小关系为_解析：设g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)，因为当x(，0)时，f(x)xf(x)0恒成立，所以此时g(x)f(x)xf(x)0，即此时函数g(x)xf(x)在(，0)上单调递减，因为f(x)是奇函数，所以g(x)xf(x)是偶函数，即当x0时，函数g(x)xf(x)单调递增，则a3f(3)g(3)，b(loge)f(loge)g(loge)，c2f(2)g(2)g(2)，因为0loge123，所以g(3)g(2)g(loge)，即acb.答案：acb5已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)exax1的定义域为(0，)(1)设ae，求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性解：(1)因为ae，所以f(x)exex1，f(x)exe，f(1)1，f(1)0.所以当ae时，函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y1.(2)因为f(x)exax1，所以f(x)exa.易知f(x)exa在(0，)上单调递增所以当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，由f(x)exa0，得xln a，所以当0xln a时，f(x)0，当xln a时，f(x)0，所以f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增6(2018武汉市武昌区调研考试)已知函数f(x)x2(1a)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a0，证明：当0xa时，f(ax)f(ax)解：(1)f(x)的定义域为(0，)由已知，得f