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文档简介
先看前例电路如下,当t=0时开关由1至2,系统输出为 电流,试确定电流i(t)及其导数在 t=0时刻前后的值。,即是要求t=0-与0+时刻电流及其导数的值。,由观察可知,t=0-时刻电路应处于稳定状态,于是,2.5 LTI系统的单位冲激响应,由前所讲已知,当-t时系统方程为,当t=0+时刻,由于电感电流不会突变,于是,可见,在当t=0时刻的前后,电路中状态发生了跳变。,即系统方程的右边出现冲激信号,t=0时刻的条件会发生跳变。,一、单位冲激响应,单位冲激响应h(t)是系统在零状态时,由单位冲激作用之下产生的输出响应。因此,它是一个零状态响应。,但是,单位冲激信号(t)仅在t=0时刻不等于0,当t0时(t)=0,因此系统在t0时的响应是零输入响应的形式。,因此,在时域求解的情况下,hp(t)与t=0+时初始条件的确定成了h(t)求解的关键。,例题1(系统解法P27)、设系统方程如下,试求系统的单位冲激响应h(t)。,1/解:此时方程应为, 求特征根,确定齐次通解(用的是0+初始条件,t0,所以有个阶跃信号), 确定特解,并确定t=0+时刻的初始条件。,比较以上方程两边可见, 中应有强度为1的冲激,而 中没有冲激存在,否则 中将有冲激的导数出现。因此, 中没有特解出现。,因为(或者用冲激函数平衡法求得),所以, 由t=0+时刻的初始条件,确定待定系数。,所以,2/解:此时方程应为, 求特征根,确定齐次通解。, 确定特解,并确定t=0+时刻的初始条件。,比较以上方程两边可设:在t=0时刻(冲激函数平衡法),于是在t=0时刻,将这两式代入以上方程,即有,于是在t=0(t0)时刻,系统的特解,B0u=- u表示在t=0时刻系统由于冲激作用引起跳变,,跳变值B0= -1 。它是在单位冲激信号的作用下,系统在t=0+时刻建立起来的状态。利用此状态可以确定齐次响应中的待定系数。, 确定齐次解中的待定系数,求出系统的单位冲激响应。,所以,一般的,对于如下形式的微分方程,当NM,单位冲激响应中只有自由响应;当NM,则还有受迫响应分量:冲激和冲激的各阶导数。,例题2 (做为练习) 设系统方程如下,试求系统的单位冲激响应h(t)。,解:此时方程应为, 求特征根,确定齐次通解。,所以t0时,或表示为:, 确定特解,并确定t=0+时刻的初始条件。,比较以上方程两边可设:在t=0时刻,于是在t=0时刻,由此得到,h(t)中特解等于0;将以上三式代入以下方程,所以,由此得到t=0+时刻的条件:, 确定齐次解中的待定系数,求出系统的单位冲激响应。,所以,二、离散时间系统的单位样值响应,单位样值响应h(n)是系统在零状态时,由单位样值信号作用之下产生的响应。因此,它是一个零状态响应。,同样,单位样值信号(n)仅在n=0时刻等于1,其它时刻(n)=0,因此系统在n0时的响应是零输入响应形式。,因为是差分方程的时域求解,除了有类似于以上单位冲激响应求解的方法外,还可以用迭代法求解响应。,下面还是通过举例,说明单位样值相应的求解。,例题1:已知系统差分方程,求系统的单位样值响应h(n)。,解、此时以上方程可以写成,解法一(迭代法):将方程写成如下形式,考虑到系统是因果的和零状态的,当n=0,当n=1,当n=2,同样,在大多数情况下不易得到封闭的解。,解法二:,由因果性与零状态条件,通过迭代求得一组初始条件,进而求n0时的零输入响应(齐次解)。,设在n0以后,由以上,所以,求得,考虑到(特解),所以,解法三:,方法二中的初始条件是由h(-2)=h(-1)=0和(0)=1迭代得来的。二阶系统,确定系数有两个条件足够,我们可以用n=-1和0时的条件,进而求n0时的齐次解和特解。,设在n0以后,将,作为条件,所以,例题2(练习) :已知系统差分方程,求系统的单位样值响应h(n)。,解、此时以上方程可以写成,解法一:先用迭代法,求得h(0)=1,h(1)= -1/6 ,再,设在
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