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All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,12.7 主振型的正交性,在同一体系中，不同的两个固有振型之间，无论对于M或是K，都具有正交的性质（分别称为第一正交性和第二正交性。,利用这一特性，一是可以将多自由度体系的强迫振动简化为单自由度问题（主要应用在任意干扰力作用下的强迫振动），二是可以检查主振型的计算是否正确，并判断主振型的形状特点。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,12.7.1 主振型的第一正交性,n个自由度体系的振型方程为,设wi为第i个自振频率，其相应的振型为 ；wj为第j个自振频率，其相应的振型为 。将它们分别代入上式，可得,(a),(b),对式(a)两边左乘以 ，对式(b)两边左乘以 ，则有,(c),(d),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,将式(c)减去式(e)，得,当 时，得,式（12-83）称为主振型的第一正交性，它表明，对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的。,(12-83a),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,12.7.2 主振型的第二正交性,将式(12-83a)代入式(c)，可得,(12-84),式（12-84）称为主振型的第二正交性，它表明，对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型也是彼此正交的。,12.7.3 主振型正交性的物理意义,1.第一正交性的物理意义,将式 分别乘以 和 ，可以得出以下两式,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,式(a)说明第i主振型惯性力在第j主振型上所做的虚功为零；式(b)说明第j主振型惯性力在第i主振型上所做的虚功为零。因此，第一正交性的物理意义是：相应于某一主振型的惯性力不会在其他主振型上做功。,(a),(b),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2.第二正交性的物理意义,由式（12-84），可推导出,(c),由式(c)可知，第二正交性的物理意义是：相应于某一主振型的弹性力不会在其他主振型上做功。,3.小结,主振型的正交性可理解为：相应于某一主振型作简谐振动的能量不会转移到其他振型上去，也就不会引起其他振型的振动。因此，各主振型可单独存在而不互相干扰。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例12-29】试验算例12-26所求得的主振型是否满足正交关系。,解：由例12-26得知质量矩阵和刚度矩阵分别为,又三个主振型分别为,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(1)验算第一正交性,同时，有,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2)
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