初中数学一题多解.doc

初中数学一题多解学校：三亚市崖城中学 教师：吴斌问题：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半已知：ABC，AB=AC, BDAC， 求证：CBD=A证明一：（如图）在ABC中 AB=AC ABC=C（等腰三角形的两个底角相等）CDAB又A+ABC+C=180（三角形的内角和等于180） C=（180-A）=90-A又BDAC BDC=90在RTBDC中，可知CBD=90-C（直角三角形的两个锐角互余）CBD=90-（90-A）=90- 90+A=A即CBD=A证明二：（如图）CDABBDAC BDC=BDA=90（垂直的定义）在RTBDC中,可得CBD=90-C在RTADB中,可得90=ABD+ACBD=ABD+A-C（等量代换）又AB=AC ABC=C（等腰三角形的两个底角相等）又ABD=ABC-CBDABD=C-CBDCBD=C-CBD+A-C（等量代换）即CBD=A点评：以上两种证明都是常的证明方法，根据已知条件就可以直接推理出所要求证的问题。证明三：（如图）作BAC的平分线AE交BC于E，则有CAE=BAC AB=AC AEBC（等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）AEC为直角三角形又BDAC，EDCBACDB为直角三角形在RTCDB中，有C+CBD= 90（直角三角形的两个锐角互余）在RTAEC中，有C+CAE = 90（直角三角形的两个锐角互余）CBD=CAE即CBD=A证明四：（如图）作AEBC，垂足为E，可得CEA为直角三角形EDCBABDAC CDB为直角三角形又C为CEA与CDB的公共角CEACDB(有两个对应角相等的两个三角形相似)CBD=CAE (相似三角形的对应角相等)又AB=ACCAE=BAE=A (等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)即CBD=A证明五：（如图）在线段AC上取一点，作CBD=EBD BDACABCDECDB=EDB=90又BD=BD(公共边)CBDEBD（ASA）BC=BE(全等三角形的对应边相等)C=BEC(等边对等角)又CBE=CBD+EBD CBE=2CBD在CBE中，CBE+C+BEC=180CBE=180-2CCBE=2CBD=180-2C又AB=AC ABC=C又A+ABC +C =180A=180- (ABC+C)= 180-2C2CBD=A即CBD=A证明六：（如图）过C点作CEAB,可有CEA=90 BDAC BDA= 90在ABD和ACE中， A=A（公共角） BDA=CEA=90(已证)EDCBA AB=AC（已知）ABDACE（AAS）ABD=ACE (全等三角形的对应边相等)又AB=AC ABC=ACB又ABC=ABD+CBD ACB=ACE+BCE CBD=BCE在ABC中,A+ABD+CBD+ACE+BCE=180CBD+BCE=180-(ABD+ACE)-A2CBD=180-2ABD-A在RTABD中,ABD=90-A2CBD=180-2(90-A)-A=A即CBD=A证明七：（如图）过C点作CEAB，垂足为E，又由BDAC，可有CEB=BDC=90EDCBA AB=AC ABC=ACB 在RTBEC和RTCDB中, CBD= 90-ACB BCE= 90-ABC CBD=BCE在RTABD中，有A+ABD= 90在RTACE中，有A+ACE= 902A+ABD+ACE= 180在ABC中，有A+ABD+CBD+BCE+ACE=A+ABC+ACB= 1802A+ABD+ACE= A+ABD+CBD+BCE+ACE A=CBD+BCEA=2CBD即CBD=A证明八：（如图）过点C作CEAB交BD于F，则有BEC=90EDCBAF 在RTBEC中，有BCE =90-ABC 又BDAC CDB= 90 在RTBDC中, CBD= 90-ACB 又AB=AC ABC=ACB CBD=BCE 在BCF中, CBD=BCE=(180-BFC)= 90-BFC 又AEF+ADF=90+90=180 A、E、F、D四点共圆（如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆） A+EFD=180(圆的内接四边形的对角互补) EFD=180-A 又BFC=EFD (对顶角相等) CBD= 90-BFC=90-EFD= 90-(180-A)=A即CBD=A证明九：（如图）过点A作AEBC,并连接ED AB=AC BE=CE(等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合) 又BDAC，BDC为直角三角形ABCDEBE=CE=DE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）EBD=EDB（等边对等角）又DEC=EBD+EDB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）DEC=2EBD EBD=DECCBD=DEC又BEA与BDA有公共弧ABBEA=BDA又BEA、BDA在AB的同侧，A、B、E、D四点共圆(如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆)又DEC为内接四边形ABED的一个外角DEC=BAD（圆的内接四边形任何一个外角等于它的内对角）CBD=BAD即CBD=A (等量代换)证明十：（如图）取BC的中点E并连接AE和DE，可得BE=CEAB=ACAEBC,BAE=CAE (等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)CAE=BACABCDE又BDAC，则有CDB为直角三角形BE=CE=DE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）因此CDE为等腰三角形，则有C=EDC（等边对等角）又C=ABC（等边对等角）EDC=ABC (等量代换)因此A、B、E、D四点共圆又EBD与DAE有公共弧DEEBD=DAE (同弧所对的圆周角相等)EBD=CAE=BAC (等量代换)即CB