《D36微分中值定理》PPT课件.ppt

3. 6. 3 罗尔( Rolle )定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 6. 4 拉格朗日(Lagrange)中值定理,3. 6. 5 柯西(Cauchy)中值定理,3. 6. 2 极值点、 Fermat 引理,第 3 章,微分中值定理,3. 6,3. 6. 1 问题的提出,中值定理,应 用,研究函数性质及曲线性态 (增减性与凹凸性),利用导数解决实际问题（极值与最值）,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式,洛必达法则,费马引理,本节的内容结构,3.6.1 问 题 的 提 出,设函数,其图形是一条绵绵不断的曲线，,则过点,上连续，,的直线的斜率为：,若曲线是由参数方程：,给出，,？,的直线的斜率为：,？,在闭区间,则过点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.6.2. 极值点、Fermat 引理,) 若,定义：,设函数,则称,称为函数,函数 的极大值与极小值统称为函数的极值。,处取得（局部）极大值 ，,为函数,在点, ) 若,则称,称为函数,处取得（局部）极小值 ，,为函数,在点,的一个（局部）极大值点；,的一个（局部）极小值点；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,费 马 ( Fermat（16011665）) 引理,则,证:,则,费马 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,若函数,处取可导且取得极值 ，,在点,不妨设,是函数,的一个局部的极大值点 (如下图) ，,于是，,使得：,3.6.3 罗尔 ( Rolle ( 16521719 ) ) 定理,满足 ：,）在闭区间,）在开区间,）端点处函数值相等：,证:,在 a , b 上取得最,大值 M 和最小值 m，,若,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若函数,则至少存在一点,使得：,在闭区间,上连续，,都有,定理：,上连续 ；,内可导 ；,则,若,故不妨设,则存在一点,使,注意 :,1) Rolle 定理中条件的完整性 ：,例如：,由 Fermat 引理得：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 M 、m 中至少一个,不在区间的端点上取得 ，,“闭连续、开可导、两端函数值同大小；水平切线至少有一条。”,证毕,使得：,2 ) Rolle 定理中条件的充分性。,在开区间 ( a , b ) 内可导，,则在( a , b ) 内至少存在一点,证明提示 : 设,只须验明 F(x) 在闭区间 a , b 上满足罗尔定理 即可。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推 论：,设函数,均收敛，,且,例 1.,有且仅有一个小于1 的正实根。,因此在,证 :,显然,在 0 , 1 连续 ,又,由零点定理知存在,使得：,即方程有小于 1 的正根,2 ) 再证 唯一性 ：,用反证法：,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,这与,矛盾,故假设不真!,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,之间必存在一点,假设另有,显然,在以,证明方程,1 ) 先证 存在性 ：,使,使,例 如 ：,设函数,求证至少存在一点,且,使得：,又 如 :,设,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导，,且,试证至少存在,一点,再 如：,设函数,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导，,且,试证至少存在一点,使得：,使得：,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数,3.6.4 拉格朗日( Lagrange (17361813) 中值定理,在闭区间,满足：,在开区间,则至少存在一点,使得：,作辅助函数：,显然 ,在 闭区间 a , b 上连续 ,在开区间 ( a , b ) 内可导,且,证:,问题转化为证明,由 Rolle 定理得，,即定理结论成立 。,拉氏 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,若函数,定理：,使得：,上连续；,内可导；,）,）,推 论：,设函数,均在区间 I 里可微，,) 若,）在区间 I 里任取两点,且函数,取法的任意性得：,则,) 若,则,显然,上满足 Lagrange 中值公式的条件，,因此，,由,) 令,用）的结果得证。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证：,在闭区间,C 为常数，,例 2. 证明等式,令,由推论可知,( C为常数 ),令,又,一般地：,欲证,只需证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证：,则有,上成立。,故所证等式在定义域,得：,且,使得：,即可。,证：,例 3. 证明不等式,证:,即,从而,因此，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,上满足 Lagrange中值定理的一切条件，,在闭区间,成立,又,函数,令,使得：,利用Lagrange中值公式 证明不等式时的思路是：,例 4.,“追,之迹，,试证不等式：,找,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,显然函数,上满足 Lagrange 中值定理的一切条件，,在,因此有：,显然,之形，,定,之位”,证：,拉格朗日中值定理的有限增量形式：,（位于 x 与 x + x 之间 ）,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.6.5 柯西 ( Cauchy (1789 1857 ) 中值定理,分析:,及,在闭区间,在开区间,且,则至少存在一点,使得：,满足 ：,要证,柯西 目录 上页 下页 返回 结束,定理：,若函数,）,）,上连续；,内可导，,证:,且,使,即,由 Rolle 定理知, 至少存在一点,思 考:,两式的 并 非完全相同,错!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上面两式相比即得结论。,显然,在闭区间,上连续，,内可导，,在开区间,证毕,由 Lagrange 中值定理知：,柯西定理的下述证法对吗 ?,令,例 5.,至少存在一点,使得：,要证等式可变形为：,令,由Cauchy中值公式得：,显然，,试证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,至少存在一点,使得：,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导，,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导，,设函数,证：,例 6.,至少存在一点,使得：,方法）所证等式可变形为：,令,则,在 0, 1 上满足 Cauchy 中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使得：,试证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下面只须验证Rolle中值定理,方法） 所证等式可变形为：,令,的条件即可。,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导，,设函数,证：,例 7.,使得：,证:,方法 1.,则,令,因此,即,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上满足柯西中值定理条件,在闭区间,试证至少存在一点,用柯西中值定理 证明,例 7. 试证 至少存在一点,使得,方法 2.,则函数,使得：,因此，存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区间,上满足罗尔中值定理条件,令,用 Rolle 中值公式,例 8.,使得：,所证等式可变形为：,令,上满足Lagrange中值公式的一切条件，,显然,试证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此，,使得：,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导且,在闭区间,设函数,即,存在点,证：,例 9.,使得：,所证等式可变形为：,试证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在区间,使得：,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导,设函数,故存在点,Cauchy中值公式的条件，,因此，等式左边等于,令,显然，,上满足 Lagrange与,而等式右边：,证：,例 10.,满足：,所证等式可变形为：,试证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在区间,使得：,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导且,设函数,Cauchy中值公式的条件，,因此，等式右边等于,令,显然，,上满足 Lagrange与,而等式左边：,证：,例 11.,又,取得最大值，,证:,由Fermat引理知，,原不等式可变为：,显然，,上分别满足Lagrange中值定理的条件,因此分别存在,在,试证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,满足：,两式相加得所证的结果：,在闭区间,上二阶可导，且,设,使得,内容小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的应用,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,关键: 利用逆向思维 寻求辅助函数,费马引理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日 (1736 1813),法国数学家.,他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来, 数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,思考与练习,1. 填空题,1) 函数,在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理,条件, 则中值,2) 设,有,个根 , 它们分别在区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上.,方程,2. 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 思考: 在,即,当,时,问是否可由此得出,不能 !,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P132 7, 8 , 10 , 12 , 14 , 15,提示:,题15.,题14. 考虑,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,求证存在,使,1. 设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定 义 ：,设函数,）若存在一点,使得,都有,则称,为函数,在区间 I 里的最小值，,记作：,）若存在一点,使得,都有,则称,为函数,在区间 I 里的最大值，,记作：,函数的 最大值 与 最小值 统称为函数的最值。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关于函数的最值问题,则其最值只能在极值点,或区间的端点处取到，由此得：,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义：,设,若,发散，,称为,的临界（可疑的极值）点。,则称,为函数,的驻点；,则称,为函数,的奇点；,函数,的驻点或奇点统称为,特别地:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此也可通过,例2. 求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同 ,由于,令,( 自己练习 ),在闭区间,上的最大值和最小值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( k 为某一常数 ),例 3. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 km，,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货,D 点应如何选取?,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问,公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用开始移动,例4. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作,解: 克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题 ., 为多少时才可使力,设摩擦系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的大小最小?,令,解得,而,因而 F 取最小值 .,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:如右图所示，,睛1.8 m ,例5. 一张 1.4 m 高的图片