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第六节 平面及其方程,一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 四、小结,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,（1）垂直于平面内的任一向量,设,又设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,（3）过空间一点能且只能作一个平面垂直于一已知向量,（2）与一已知法向量平行的任何非零向量均可作为 平面的法向量。,平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的点法式方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,（2）反之,若已知平面方程为,结论： （1）已知平面的一个法向量,及平面内的一个点,则该平面的点法式方程为,则,就是该平面的一个法向量,解,所求平面方程为,化简得,故可取,解：,设所求平面的法向量为,化简得,所求平面方程为,解：,故可取,由平面的点法式方程,平面的一般方程,其中法向量为,二、平面的一般方程,几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 B=0,C=0 的情形.,平面的一般方程,设平面方程为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面方程为,将三点坐标代入得,解,平面的截 距式方程,平面的截距式方程,设平面方程为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,设平面为,解,令,所求平面方程为,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,三、两平面的夹角,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,两平面夹角余弦公式,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面平行,两平面平行但不重合,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面平行,两平面重合,解,解,解,点到平面距离公式,例8：求通过点 A(3,0,0) 和B(0,0,1) 且与xoy 面成,解：,设所求平面的一个法向量为,又xoy 面的一个法向量为,的平面方程。,例8：求通过点 A(3,0,0) 和B(0,0,1) 且与xoy 面成 的平面方程。,解：,设所求平面的一个法向量为,由点法式得所求平面方程为,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,四、小结,习题75:
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