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第二节 微分概念及其计算,第四章 微商与微分,三、基本微分公式与微分运算法则,二、微分的几何意义,一、微分的定义,四、微分在近似计算中的应用,设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).,则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在,点 x0 处的导数. 记为,定义,导数的定义,已知,在点 的可导,则,的微分,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,注意,在点,可微,定义 若函数,一、微分的定义,1.微分是 x 的线性函数；,2.微分与 y 之差是x 的高阶无穷小量.,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,说明:,例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,定理4.5 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,定理4.5 函数,则有,从而,导数也叫作微商,自变量的微分,记作,说明,由定理4.5，我们得到,二、微分的几何意义,切线纵坐标的增量,当 很小时,几何意义：用切线的改变量近似地代替函数的改变量.,三、基本的微分公式与微分运算法则,1基本初等函数的微分公式,(参看课本),2函数和、差、积、商的微分法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),3复合函数的微分法则,分别可微 ,的微分为,微分形式不变性,则复合函数,解法1：,解法2：,利用“微分形式不变性”,四、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,的近似值 .,解: 设,取,则,例4 求,的近似值 .,解:,例5 计算,内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2. 微分运
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