《微分方程初步》PPT课件.ppt

微分方程与差分方程, 积分问题, 微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,引例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .,引例2. 列车在平直路上以,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知,由前一式两次积分, 可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住 ,以及制动后行驶了多少路程 .,即求 s = s (t) .,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),( n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解, 不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,代入原方程得,解法:,一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,一.差分:,设函数,记为 ,当 取遍非负整数,即:,则差 称为函数 的差分, 记为,又有:,称为函数 的 二阶差分.,时,函数值可以排成一个数列:,差分方程的一般概念:,差分方程不同形式之间可以互相转化,的符号的方程称为差分方程.例如:,都是差分方程.,定义:含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值,是一个二阶差分方程,可以化为,将原方程左边写成:,则可以化为,定义:,如果一个函数,代入差分方程后,方程两边,把函数 代入,设有差分方程,则有: 左边,等于 右边.,恒等,则称此函数为差分方程的解.,可以验证,是常数,也是差分方程的解,初始条件,通解和特解,定义:,形如,是常数,其中 为已知函数, 为未知函数,时称为非齐次方程,否则称为齐次的.,的方程称为一阶常系数线性差分方程.,常系数线性差分方程的解法:,是方程 的解,容易验证:,设 和 都是方程 的解,则,即:,也是方程 的解,1. 通解和特解:,非齐次方程的通解:,常系数齐次线性差分方程的解法:,设 已知 ,容易验证:,迭代法:,微分方程数学实验,1、MATLAB 求微分方程 2、案例应用 3、小结,一、MATLAB求微分方程,MATLAB求微分方程操作命令：,dsolve(Dy=f(x,y), x)- 求微分方程 的通解,dsolve(Dy=f(x,y), y(a)=b, x)- 求微分方程 的特解,dsolve(D2y=f(x,y,Dy), y(a)=b, Dy()= , x)- 求微分方程 的特解, syms x y y=dsolve(Dy-2/(x+1)*y=(x+1)(5/2),x) y = 2/3*(x+1)(3/2)*x2+4/3*(x+1)(3/2)*x+2/3*(x+1)(3/2)+C1*x2+2*C1*x+C1,解：, syms x y,解：, y=dsolve(Dy*(cos(x)2+y-tan(x)=0,y(0)=0,x),y = (-exp(2*i*x)+i-i*exp(2*i*x)-1+exp(-1/cos(x)*sin(x)+2*i*x)+exp(-1/cos(x)*sin(x)/(exp(2*i*x)+1),解：, syms x y y=dsolve(D2y=Dy/x+x*exp(x),x) y = x*exp(x)-exp(x)+C1+C2*x2, syms x y y=dsolve(D2y+4*y=cos(2*x),y(0)=1,Dy(0)=2,x) y = (1/8*sin(2*x)*cos(2*x)+1/4*x)*sin(2*x)+1/8*cos(2*x)3+sin(2*x)+7/8*cos(2*x),解：,二、案例应用, syms t I I=dsolve(2*DI+10*I=3*sin(5*t),t) I = -3/20*cos(5*t)+3/20*sin(5*t)+exp(-5*t)*C1 I0=dsolve(2*DI+10*I=3*sin(5*t),I(0)=6,t) I0 = -3/20*cos(5*t)+3/20*sin(5*t)+123/20*exp(-5*t),Example6(市场调查） 对一新产品做市场调研，把它免费提供给有100万居民的城市中的1000人，在调查期间，城市人口保持不变。假设产品被接受的速度与已拥有它和没拥有它的人数成比例。若四周后，有3000人接受了此产品，会接受此产品的人数关于时间的函数。, syms x t x=dsolve(Dx=k*x*(1000000-x),x(0)=1000,t) x = 1000000/(1+999*exp(-1000000*k*t) k=solve(1000000/(1+999*exp(-1000000*k*4)=3000,k) k = -1/4000000*log(997/2997) k=-1/4000000*log(997/2997) k = 2.7515e-007,Example7(电机