《微积分上》PPT课件.ppt

韩淑霞,公共邮箱：, Key:135246 私人邮箱：hanshu_,请每个小班的数学课代表将电话号码给我,电话1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,(上册),(下册),3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,主要内容,多元微积分,每学期88学时,答疑、作业、考试,1、答疑；,2、作业星期一交,3、期中考试12月2日上午（2个小时） 期末考试1月22日上午（两个半小时，闭卷）,注意课程资料：,练习册（上）练习册（下） 期中期末统考试题12套及解答（近3年） 微积分学教材习题解答 同步辅导B类题解答,共25元，以班为单位购买,时间：今天、明天下午2：30-5：30， 晚上6：30-9：30,地点：科技楼南楼711室,共五种,微积分的学习,1、学习,2、悟道,3、应用,聊天,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,一、微积分的学习,二、如何学习微积分 ?,1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.,2. 学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.,一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .,华罗庚,给出了几何问题的统一,笛卡儿 (15961650),法国哲学家, 数学家, 物理学家,他,是解析几何奠基人之一 .,1637年他发,表的几何学论文分析了几何学与,代数学的优缺点,进而提出了 “ 另外,一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.,把几何问题化成代数问题 ,作图法,华罗庚(19101985),我国在国际上享有盛誉的数学家.,他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近 300 篇.,偏微分方,多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是,“ 宽, 专, 漫 ”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业,知识漫到其它领域.,1984年来中国矿业大学视察时给,给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.,牛顿与莱布尼茨,数学的真正划分不是分为几何和算术，而是分成普遍的和特殊的。这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家，牛顿和莱布尼茨提供的。,二、微积分的历史是什么,1. 牛顿（Newton）,数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的。需要有一个人来走那最高和最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些碎片重新组织起来，并且能足够大胆地制定一个宏伟的计划。在微积分中，这个人就是牛顿。,牛顿（16421727年），英国数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家。生于英格兰林肯郡伍尔索普的一个小村庄里。他的母亲在那里管理着丈夫遗留下来的农庄，他父亲是在他出生前两个月去世的。,少年时期，牛顿在一个低标准的地方学校接受教育，而且是一个除了对机械有兴趣以外，没有特殊才华的青年人。,1661年他进入了剑桥大学的三一学院，安静而没有阻力地学习着自然哲学。1665年牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为伦敦地区鼠疫流行而关闭。他离开剑桥，回到家乡，在那里开始了他在机械、数学和光学上的伟大工作，于1665-1666年间做出流数术、万有引力和光的分析三大发明，年仅23岁。,1667年牛顿回到剑桥，获得硕士学位，成为三一学院的研究员。1669年牛顿接替他的数学老师巴罗的职位，担任卢卡斯数学教授。他不是一个成功的教师，听他课的学生很少。,他提出的创造性的材料也没有受到同事们的注意，只有巴罗及天文学家哈雷认识到他的伟大，并给他以鼓励。牛顿涉猎的学科很多，知识面很广。他从事过光学、天体力学、数学、化学、流体静力学、流体动力学、物理学方面的研究工作，还自己动手制作实验装置，甚至自己制作了两台反射望远镜（制作出做架子用的合金、浇铸框架、做底座、磨光镜头等。）,他在数学上以创建微积分而著称，其流数法（即物质的变化率）始于1665年，系统叙述于流数法和无穷级数（1671年完成，1736年出版），首先发表在自然哲学之数学原理 （1687）中。其中借助运动学中描述的连续量及其变化率阐述他的流数理论，并创用字母上加一点的符号表示流动变化率（即导数符号）。,讨论的基本问题是：已知流量间的关系，求它们的流数的关系以及逆运算，确立了微分与积分这两类运算的互逆关系，即微积分基本定理。他用级数处理微分和积分，已对级数的收敛和发散有所认识。他也研究微分方程、隐函数微分、曲线切线、曲线曲率、曲线的拐点和曲线长度等。,此外他还论述了有理指数的二项定理（1664年）以及数论、解析几何、曲线分类、变分法等中的有关问题。,他在物理学上发现了万有引力定律（1666-1684年），并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因。1666年用三棱镜实验光的色散现象，1668年发明并亲手制作了第一架反射望远镜。,他在哲学上深信物质、运动、空间和时间的客观存在性，坚持用观察和实验方法发现自然界的规律，力求用数学定量方法表述的定律说明自然现象，其科学研究方法支配后世近300年的物理学研究。,晚年的牛顿变得消沉，精神几乎崩溃。他放弃研究工作，于1695年接受任命，担任大英造币厂监察。1705年，封为爵士，享年85岁。牛顿对于他一生的成就，一直是十分谦虚的。,2. 莱布尼茨（Leibniz）,莱布尼茨（16461716年）是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。1666年以论文论组合的艺术获得阿尔特道夫大学哲学博士学位，同时获得该校的教授席位。,1671年，他制造了他的计算机。1672年3月作为梅因兹的选帝侯大使，政治出差导巴黎。这次访问使他同数学家和科学家有了接触，激起了他对数学的兴趣。可以说，在此之前（1672年前）莱布尼茨基本上不懂数学。,1673年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学家，促使他更加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠做外交官生活，卷入各种政治活动，但他的科学研究工作领域是广泛的，他的业余生活的活动范围是庞大的。,除了是外交官外，莱布尼茨还是哲学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家，他在逻辑学、力学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要工作。虽然他的教授席位是法学的，但他在数学和哲学方面的著作被列于世界上曾产生过的最优秀的著作中。他用通信保持和人们的接触，最远的到锡兰（Ceylon）和中国。,他于1669年提议建立德国科学院，从事对人类有益的力学中的发明和化学、生理学方面的发现（1700年柏林科学院成立）。,1714年莱布尼茨写了微分学的历史和起源，在这本书中，他给出了一些关于自己思想发展的记载，由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名，所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源的记载。不管他的笔记本多么混乱，都揭示了一个最伟大的才智，怎样为了达到理解和创造而奋斗。,特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到，微分与积分（看作是和）必定是相反的过程；1676年6月23日的手稿中，他意识到求切线的最好方法是求 dy/dx ，其中dy，dx 是变量的差，dy/dx 是差的商。莱布尼茨的工作，虽然富于启发性而且意义深远，但它是十分零乱不全的，以致几乎不能理解。幸好贝努利兄弟将他的文章大大加工，并做了大量的发展工作。,1716年，他无声无息地死去。,创建微积分优先权的争论,牛顿从1665年到1687年把结果通知了他的朋友，特别是把他的短文分析学送给了巴罗，但他于1687年以前，并没有正式公开发表过微积分方面的任何工作。,创建微积分优先权的争论,虽然莱布尼茨于1672年访问巴黎，1673年访问伦敦时，和一些知道牛顿工作的人通信。然而，他直到1684年才正式公开发表微积分的著作。于是就发生了莱布尼茨是否知道牛顿工作详情的问题。莱布尼茨被指责为剽窃者。,在这两个人死了很久以后，调查证明：虽然牛顿的大部分工作是在莱布尼茨之前做的，但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。两个人都受到巴罗的很多启发。,创建微积分优先权的争论,这件事的结果是，英国的和大陆的数学家停止了思想交换。因为牛顿在微积分方面的主要工作是以几何为工具的，所以在他死后近一百年中，英国人继续以几何为主要工具研究微积分。而大陆的数学家继续使用莱布尼茨的分析方法，使它发展并不断进行改善。这件事的影响非常巨大，它不仅使英国的数学家落在后面，而且使数学学科损失了一批最有才能的人所应作出的贡献。,创建微积分优先权的争论,十七世纪最伟大的成就就是微积分。由此起源产生了数学的一些主要的新分支，如微分方程，无穷级数，微分几何，变分法，复变函数等等。其中某些工作的萌芽确实在牛顿和莱布尼茨的工作中就已经出现了。十八世纪，人们大量地致力于这些分析分支的发展。但是在这一发展完成之前，首先必须扩展微积分本身。,十八世纪的微积分,牛顿和莱布尼茨创造了基本方法，但也留下了许多要做的事情： 必须清楚地认识或造出许多新的一元函数和多元函数； 微分和积分的技巧必须推广到某些已经存在或别的有待引入的函数； 此外还缺少微积分的逻辑基础 。当然，第一目标是扩展微积分的主要内容。,十八世纪的微积分,1、平均速度,费马研究的一个问题,假设一个小球正向地面落去，我们想知道下落后第 4 秒时小球的速度（瞬时速度）。,三、微积分的例子,2、一个方案：首先计算不同时间间隔内的平均速度，然后研究当时间间隔越来越小时，它们会趋近于哪一个数。这个数就是要求的小球在第四秒时第瞬时速度。,小球下落的运动状态可用下面的公式描述：,费马所在时代用的是英制单位,设任意一个时间增量是 h ，在第（4 + h）秒时，,小球会下降 256 英尺加上距离增量 k :,即,在 h 秒内（时间间