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文档简介
第三章 二维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量的联合分布,3.2 边际分布与条件分布,3.3 随机变量的独立性,3.4 二维随机变量函数的分布,制作人:卞小霞,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,一、二维随机变量及分布函数,3.1 二维随机变量的联合分布,一、二维随机变量及分布函数,1.引例:五只球(三白二黑),任取三只,以,表示取得,表示取得的黑球数。,的白球数,以,的取值是一个随机变量,它可以取0,1,2,3。,的取值也是一个随机变量,它可以取0,1,2。,在,,,和,这三点的取值是有意义的,,也是随机的。,且它们取这些值的概率分别为:,为了书写方便,我们一般 将上面的概率分布情况列 成右表:,为二维随机变量 的分布函数,或称 的 联合分布函数。,2.定义,二维分布函数的几何意义 :,3.几何意义,随机点 落在以点 为右上顶点 的无穷“矩形”内的概率。,的分布函数 具有以下性质: 1. 是 与 的单调非减函数; 2. 是关于 与 的右连续函数; 3. , 4. .,4.性质,例1.射手对目标独立地进行两次射击,每次的命中率为0.8,以 表第一次命中的次数,以 表示第二次命中的次数。求 的分布函数。,根据随机变量的意义,它的概率规律性可列成 下表:,5.例题解析,解:,当 时,,当 时,,当 时,,当 时,,故 的分布函数为,推广:如果每次随机试验的结果都对应着一组确定的实数 ,它们是随机试验结果不同而变化的 个随机变量,则称 个随机变量的整体 为一个 维随机变量。称 维函数 为 维随机变量的分布函数。,二、二维离散型随机变量,1. 定义,2. 联合概率函数的性质,取值:,2.9 二维随机变量的联合分布,例2.袋中有5件产品(3正2次),任取一件, 再取一件,设,(1)放回抽取,试写出,(2)不放回抽取,试写出 的联合分布列,的联合分布列,3.例题解析,解:(1)有放回地抽取的联合分布表,0,1,(2)不放回地抽取的联合分布表,0,1,件三等品.,等品、二等品件数的二维联合概率分布.,解:,设 分别是取出的4件产品中一等品及二等,品的件数,,其中,由此得,的二维联合概率分布如下:,求其中一,则 的联合概率函数为,2.9 二维随机变量的联合分布,2.9 二维随机变量的联合分布,例4. 一大批粉笔,其中60%是白的,25%是黄的,15%是红的,现从中随机地,顺序地取出6支,问这6支中恰有3支白,1支黄,2支红的概率。,解:由于是大批量,我们认为是放回抽样,即抽取到黄,白,红的概率不变,有,于是,上例若用随机变量来表述,设,=6支中白粉笔的数目,=6支中黄粉笔的数目,则事件“恰有3支白,1支黄,2支红”就是事件 ,,即, 上面的结果表示为,这就是参数为,的三项分布.,一般地,有对于,),说明:三项分布设,的联合分布是,,其中,是给定的自然数,,,,,,,称,服从三项分布。,定义 设,是二维连续型随机变量,如果,使得,其中,是某一平面区域,那么,称为,的联合概率密度,且满足,存在一个非负可积函数,20,10,三、二维连续型随机变量,例5. 二维随机变量,密度函数为,其中,为区域,,试确定 值.,解:由概率密度函数的性质有,故,即,例6. 设二维随机变量,的密度函数为,求,,其中,是直线,与,轴、,轴所围成的区域。,解:由概率的定义知,例7. 设二维随机变量( X ,Y )的联合概率密度为,其中k为常数. 求,常数 k ; P ( X + Y 1) , P ( X 0.5).,解:令,(1),(2),0.5,小 结,1. 二维离散随机变量的联合分布:联合概率函数,二维联合分布表,联合概率函数的性质(非负性,规范性).,2.9 二维随机变量的联合分布,2. 二维连续随机变量的联合分布:联合分布函数及其性质,联合概率密度及其性质(非负性,规范性).,3. 联合分布函
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