陕西省西安市2019届高三数学第一次质量检测试卷理（含解析）.docx

西安市2019届高三年级第一次质量检测理科数学注意事项：1. 本卷共150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：，则集合 .本题选择A选项.2.在复平面内，为虚数单位，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,选D.3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）（A）直线AA1 （B）直线A1B1（C）直线A1D1（D）直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中直线与都是异面直线，故选D考点：异面直线4.的展开式的常数项是（ ）A. -3B. -2C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值【详解】 ，展开式的常数项.故选:D.【点睛】本题考查二项式定理的应用，求展开式中指定项的系数，属于基础题5.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为有两个零点，所以排除B；当时，排除C；当时，排除D,故选A6.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ）A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种【答案】B【解析】试题分析：完成这件事件，可分两类：第一类，最前排甲，其余位置有中不同的排法；第二类，最前排乙，最后有4种排法，其余位置有种不同的排法；所以共有种不同的排法.考点：1.分类加法计数原理；2.分步乘法计数原理；3.排列知识.7.若直线：与圆：无交点，则点与圆的位置关系是（ ）A. 点在圆上B. 点在圆外C. 点在圆内D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】由题意知圆心到直线的距离大于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，再利用两点间的距离公式判断，可得出结论【详解】直线：与圆：无交点，则，即，点在圆内部.故应选C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，属于基础题.8.已知函数的图象关于轴对称，且函数在上单调，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前21项之和为（ ）A. 0B. C. 21D. 42【答案】C【解析】【分析】由函数yf（x+1）的图象关于y轴对称，可得yf（x）的图象关于x1对称，由题意可得，运用等差数列的性质和求和公式，计算可得到所求和【详解】函数的图象关于轴对称，平移可得的图象关于对称，且函数在上单调，由数列是公差不为0的等差数列，且，可得，所以，可得数列的前21项和.故选：C.【点睛】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题9.中，则外接圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件利用余弦定理可求c，再利用正弦定理求得外接圆半径，即可求得面积【详解】中，且，由余弦定理可知 ，；又，由正弦定理可知外接圆半径为.所以外接圆面积为.故应选C.【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，及三角形外接圆面积的计算，属于基础题10.已知，在球的球面上，直线与截面所成的角为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，分析得到BC即为A，B，C所在平面截球得到的圆的直径，根据直线AO与平面ABC成30角，求出球半径后，代入球的表面积公式，即可得到答案【详解】在中，由余弦定理得到求得，由勾股定理得为直角，中点即所在小圆的圆心， 平面，且小圆半径为1，又直线与截面所成的角为，在直角三角形中，球的半径为,球的表面积为.故应选D.【点睛】本题考查了球的截面问题，考查了球的表面积公式，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键，属于中档题11.设为双曲线：的右焦点，若直线的斜率与的一条渐近线的斜率的乘积为3，则的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】设出焦点坐标，根据已知列出关于a、b、c的方程，然后求解离心率【详解】设为，若直线与的一条渐近线的斜率乘积为3，可得：，可得，即，可得，解得.故应选B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及斜率公式，考查计算能力，属于基础题12.设函数，若实数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：对函数求导得，函数单调递增，由知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，由知，所以.考点：利用导数求函数的单调性.【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数求导得，函数单调递增，进一步求得函数的零点；同理对函数求导，知在定义域内单调递增，由知的零点，所以.二、填空题：本题共4小题.13.已知向量与的夹角为，则_【答案】1【解析】【分析】根据题意，设|t，（t0），由数量积的计算公式可得，进而由|，平方可得9+3t+t213，解得t的值，即可得答案【详解】根据题意，设|t，（t0），向量与的夹角为60，|3，则，又由|，则（）22+229+3t+t213，变形可得：t2+3t40，解可得t4或1，又由t0，则t1；故答案为1【点睛】本题考查向量数量积的计算公式，考查了向量的模的转化，属于基础题14.设函数在点处的切线方程为，则_【答案】3【解析】【分析】对求导，得在点处的切线斜率，由切线方程的斜率，即可得到a的值【详解】函数的导数为，得在点处的切线斜率为，因为函数在点处的切线方程为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，导数的几何意义，属于基础题15.设，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为_【答案】2【解析】【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得a、b即可【详解】对于任意实数都有，则函数的周期相同，若，此时，此时，若，则方程等价为 ，则，则，综上满足条件的有序实数组为，共有2组.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键16.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段的中点到准线的距离为_【答案】【解析】试题分析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m+n+= m+n+=3，故m+n=，故线段AB的中点到y轴的距离为考点：本题考查了抛物线的性质点评：抛物线的定义是解决抛物线的距离问题的常见方法三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）.（1）证明：成等比数列；（2）设，若数列为等比数列，求的通项公式.【答案】（1）详见解析； （2）.【解析】【分析】（1）代入n1得a1t当n2时，由（1t）Sntan+t，得，（1t）Sn1tan1+t作差得antan1，由此能证明an是等比数列（2）由，分别求得，利用数列bn为等比数列，则有，能求出t的值【详解】（1）由，当时，得，当时，即，故成等比数列.（2）由（1）知是等比数列且公比是，故，即，若数列是等比数列，则有，而，.故，解得，再将代入得：.【点睛】本题考查了由递推关系证明等比数列，考查了等比数列的应用，考查了运算求解能力，推理论证能力，属于中档题18.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：喜欢不喜欢合计大于40岁2052520岁至40岁102030合计302555（1）判断是否有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为，求的分布列、数学期望.（参考公式：，其中）0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关；（2）见解析【解析】【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，即可得到结论；（2）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和【详解】（1）由公式，所以有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关.（2）随机变量可能取得值为0，1，2，3.，的分布列为 0123 则.【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题19.如图所示，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，.（1）求证：平面平面；（2）若为中点，求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2） 【解析】【分析】（1）取AB中点H，连结PH，推导出PHAB，由勾股定理得PHHC，从而PH平面ABCD，由此能证明平面PAB平面ABCD（2）以H为原点，HA为x轴，在平面ADCB过H作AB的垂线为y轴，以HP为z轴，建立空间直角坐标系Hxyz，利用向量法能求出二面角【详解】（1）取中点，连接，是正三角形，为中点，且.是矩形，.又，.，平面.平面，平面平面.（2）以为原点,HA为x轴，在平面ADCB过H作AB的垂线为y轴，以HP为z轴，建立建立如图所示的空间之间坐标系，则，则，.设平面的法向量为，由，解得，即平面的一个法向量为.又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，又，二面角的平面角为.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查二面角平面角的值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，利用向量法是解决问题的常用方法，属于中档题20.已知椭圆：的短轴长为，离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点，.线段的垂直平分线交轴于点.（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由题意可知：2b2，则a2c，代入a2b2+c2，求得a，即可求得椭圆C的标准方程；（2）分类讨论，设直线MN的方程为yk（x1）（k0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x0，得，利用基本不等式，即可求的取值范围，再考虑斜率不存在的情况，取并集得到的取值范围【详解】（1）由题意可得：，又，联立解得，.椭圆的方程为.（2）当斜率存在时，设直线的方程为，中点，把代入椭圆方程，得到方程，则，所以的中垂线的方程为，令，得，当时，则；当时，则，当斜率不存在时，显然，当时，的中垂线为轴.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键，属于中档题21.已知函数.（1）若，且函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；（2）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），求其导函数，利用F（x）在定义域（0，+）内为增函数，得0在（0，+）上恒成立，得，设，利用导数求最大值可得正实数p的取值范围；（2）设函数f（x）g（x）px，x1，e，转化为 在1，e上至少存在一点x0，使得求函数的导函数，然后对p分类求 的最大值即可.【详解】（1），.由定义域内为增函数，所以在上恒成立，所以即，对任意恒成立，设，=0的根为x=1得在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即.（2）设函数，因为在上至少存在一点，使得成立，则，当时，则在上单调递增，舍；当时，则，舍；当时，则在上单调递增，得，综上，.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的范围，不等式能成立问题转化为研究新函数的最值，体现了转化与分类讨论的数学思想方法，属于中档题22.选修4-4：坐标系及参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；（2）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【试题分析】(I)将方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得的值.【试题解析】（）由得，即曲线的直角坐标方程为根据题意得， 因此曲线上的动点到原点的距离的最大值为 （）