专升本辅导-第2讲极限与连续.ppt

一、复习要求 （1）理解极限的概念（只要求极限的描述性定义），能根据极限概念分析函数的变化趋势会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件 （2）理解极限的唯一性、有界性、和保号性，掌握极限的四则运算法则 （3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）会运用等价无穷小量代换求极限 （4）理解极限存在的两个收敛准则（夹逼准则和单调有界准则）。掌握用两个重要极限求极限的方法 （5）理解函数在一点连续的概念，函数在一点处连续与函数在该处极限存在的关系，会判断分段函数在分段点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系 （6）会求函数的间断点及确定其类型 （7）掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题 （8）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限,第2讲 极限与连续,（2）极限存在的充分必要条件：,利用它可以判断分段函数有分段点的极限是否存在,二、内容提要,1.极限概念,（1）定义：以零为极限的变量称为无穷小要注意，无穷小是变量，任何绝对值很小的数都不是无穷小量（0可以看作无穷小量）,（3）运算性质 a有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量； b有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量； c有界量与无穷小量的乘积是无穷小量,2.无穷小量,（2）无穷小与极限的关系:,记作,为无穷大，记为,（2）无穷大量与无穷小量一样都是变量，与自变量变化有关无穷小量（不零值的无穷小量）与无穷大恰好是互为“倒数”关系的两个量,3.无穷大量,4.极限的运算,（n为正整数）,5.两个重要极限,（1）,注意：,（2）,为函数改变量,（2）函数在一点连续的定义：,即当自变量改变量趋向于0时，函数的改变量也趋向于0,6.函数的连续性,a,b,连续函数求极限时，极限的符号可与函数符号交换，即若,（3）连续函数定义,点左连续（ ），则称函数,初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内连续,a最大值最小值定理：闭区间上连续函数在该区间上能取到最大值和最小值,注意： （1）若函数仅在开区间内连续，或闭区间上有间断点，定理的结论就不成立； （2）定理及推论中的条件是充分条件、而不是必要条件,（4）闭区间上连续函数的基本性质,1.极限概念、无穷小量和无穷大量,，,四、练习及说明,解 （1）充分必要条件是：函数的左、右极限存在且相等,（2）因为,的极限,例2 试分析当,时，,这时函数是无穷小,首先，必须熟悉基本函数的极限（如练习题2），对一个具体极限才能正确判断,未定型,对未定型则选择适当的方法转化成可定型，方法（4）、（5）、（6）、（7）是解决未定型的常用方法 求极限的一般方法有：（1）极限运算法则；（2）利用无穷小无穷大性质；（3）利用函数的连续性；（4）适当的恒等变形；（5）利用二个重要极限；（6）洛必达法则；（7）无穷小替换,2.求极限方法,可定型 A+B、,例1 求极限,解 由极限运算法则，,（3）根据定理，无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量，当,时,原式,例3 （1）,，求,，求,（2）,原式,原式,例4 求（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,解 常用的恒等变形有：分子分母同除以自变量的最高次幂；因式分解约分；有理化方法；分式通分相加等,，原式,，原式,原式,例5 求（1）,（2）,（3）,解 作适当的变形后，利用重要极限,（1）,原式,（3）,例6 求（1）,（2）,（3）,（1）原式,（2）原式,（3）原式,两个无穷小的阶的比较问题是由二个无穷小量之比的极限来判断的,是x的等价无穷小,，则,3.无穷小的比较,（4）,（3）,例2 当,时，求下列无穷小量关于基本无穷小x的阶,（1）,（2）,（3）,是x的1阶无穷小,（3）,（2）,是x的2阶无穷小,4.利用等价无穷小量替换求极限,等,（2）当两个函数相乘（除）时可直接替换，当相（减）时不一定能使用,例1 求下列极限,（2）,（3）,故原式,故原式,故原式,（1）,例2 求极限,，这是错误的结果,再用等价无穷小替换，上式,或用三角公式及重要极限，上式,或可用洛必达法则,原式,事实上，原式,初等函数在其定义区间内是连续的,这表明下列三个条件必须同时满足：,若（1）不满足称为第二类间断点即无穷间断点；若（1）满足而（2）或（3）不满足称为第一类间断点，其中（1）满足，而（2）不满足，称为跳跃间断点，（1）（2）满足而（3）不满足的称为可去间断点分段函数在分段点上的连续性要用这一方法分析,5.函数连续性问题的讨论,（2）左右极限相等；,例1 讨论下列