中值定理和导数的应用(1).ppt

微分中值定理与导数应用,一、微分中值定理 二、洛必达法则 三、泰勒中值定理 四、函数的单调性、极值和最大最小值 五、曲线的凹凸性和函数作图 六、弧微分 曲率,第一节 微分中值定理,则至少存在一点,一、罗尔定理,（iii）f (a)= f (b).,设函数 f (x)满足：,证:,f (x)在a, b上必取得最大值M和最小值m .,则f (x)在a, b上恒为常数，,因此 f (x) 0，,定理1（罗尔定理）,（i）在闭区间a, b上连续；,（ii）在开区间(a, b)内可导；,所以对于任一点 (a, b)，,微分学的理论基础,导数与应用的桥梁,Rolle,16521719,(1) 若M = m，,使,由(i )知:,都有f () = 0；,否则 f (x)必恒为常数。,则 M 和 m 之中至少有一个不等于 f (a)，,设在点(a, b)处，,函数f (x)取得最大值f () = M，,都有f (x) f ()，,即f ( x) f ( ) 0.,由条件(ii)，f (x)在点可导，,于是，当x 0时，,从而，,(2) 若M m，,不妨设M f (a)，,即最大值M不是端点处的函数值。,则对一切x(a, b)，,同理, 当x0时,有,因导数存在,所以,一条连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等.,若定理条件不满足，则结论不一定成立.,罗尔定理的几何解释:,则在曲线上至少有一点C,在该点处切线水平.,区间内有不可导的点,两端点的函数值不相等,区间内有不连续的点,并指出它们所在的区间。,分别在区间 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 内。,证：,显然, f (x)分别在闭区间1, 1, 1, 2, 2, 3上连续，,例1 设函数f (x) = (x +1) (x1) (x2) (x3)，,证明方程f (x)=0有三个实根，,且 f (1) = f (1) = f (2) = f (3),. 由罗尔定理，,在(1, 1), (1, 2), (2, 3)内分别存在点1 , 2, 3 ，,使得 f (1) = f ( 2) = f ( 3) = 0,即方程f (x) = 0有三个实根，,在开区间 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 内可导，,二、拉格朗日定理,（分析）要证,即,只需证：,以下作辅助函数，利用罗尔定理给出证明.,定理2 (拉格朗日定理),设函数f (x)满足：,（i）在闭区间a, b上连续；,Lagrange, 17361813,则至少存在一点(a, b)，使,（ii）在开区间(a, b)内可导，,令,则 F(x) 满足罗尔定理中的条件(i)(ii)，,由罗尔定理知，至少存在一点,使得,即,证明,且,拉格朗日中值公式,或,公式可写成下列形式:,若令f (a) = f (b)，,则结论成为f () = 0。,拉格朗日定理的几何解释,连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线.,则在曲线上至少有一点C,在 该点处切线平行于弦AB.,注:,或,有限增量公式,可见, 罗尔定理是拉格朗日定理的特例。,通过中值定理定理，我们可得到一些有意义的结论，如,推论1 设函数f (x)在区间I上可导，且f (x) 0，,则f (x)在I上为常数。,证 在I内任取两点x1和x2，,在(x1 ,x2)内可导，,由拉格朗日定理知，,不妨设x1 x2.,至少存在(x1 ,x2)，使得,显然，f (x)在x1, x2上连续,由条件知f () = 0，,从而 f (x2) = f (x1) .,而x1, x2为I 内任意两点，,于是f (x)在I 内是一个常数。,推论2 设在区间I上，,例3 证明：,且,所以，,例4 试证明下列不等式,(1)设,则f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，,由拉格朗日定理得,由于,故,在(0, x)（或 (x, 0) ）内可导.,证,即,( 介于0与x之间).,则 f (t)在0, x（或x, 0）上连续，,(2)令f (t) = e t ,定理3（柯西定理）,（i）在a, b上连续；,注：柯西定理是拉格朗日定理的推广。,因为g(x)=x时,柯西定理的结论恰是拉格朗日定理的结论.,于是，,则至少存在一点 (a, b)，使,（ii）在(a, b)内可导，且g (x) 0 ，,三、柯西定理,Cauchy, 17891857,设f (x)及g (x)满足:,第二节 洛比达法则,如果在同一极限过程中,两个函数 都是无穷小量或都是无穷大量,那么 可能存在也可 能不存在.通常称这种类型的极限为未定式的极限.,一. 未定式 型的极限,定义,且满足,10,定理 3.2.1 设函数 和 在点 的某一去心邻域内有,在 的某一去心邻域内存在,且,和,则有,补充定义 f(x0)=g(x0)=0,条件（1）未给出 及 在 处的定义,设x 为x0 的邻域内异于x0 的任一点,利用柯西定理,在以x0 为端点构成的闭区间上,所以,证明：,则f(x)和 g(x) 就在点x0处连续,(x0, x或,x,x0 ),( 介于 与 之间),则得,对上式取极限并注意到当 时,得,令 ,例1,例2,例3,洛比达法则可以连续使用,例5,例4,例6,二 未定式 型的极限,定义,且满足,10,20 和 在 的某一去心邻域内存在,且,30 存在(或为 ),则有,对于 时的未定式 同样适用,定理3.2.2 设函数 和 在点 的某一去心邻域内有,例8,例9,例10,当 x 充分大时，有,例11,注意 ：,1）认真审查计算的极限是否是未定式，若不是未定式则不能用洛比达法则，否则将得出错误的结论。,事实上,2）解题过程中注意及时化简函数式,如约去零因子，提出能确定极限值非零的部分，且注意与其它求极限的方法结合起来。,3）洛比达法则的条件是充分条件，而不是必要条件,即当 不存在时，不能断定 不存在,例,不存在,但,再如 用洛比达法则不存在,事实上,4）反复应用洛比达法则，若出现循环，要停止使用。,例,三. 其它未定式的极限,10,20,30,例1,例2,例3,例4,令,例,例,而,泰勒:（B.Taylor, 16851731,英国数学家）,3.3 泰勒中值定理,1. 问题的提出用多项式逼近函数,3.3 泰勒中值定理,在讨论微积分概念时,我们已经知道,若函数 在点 可导, 则有,表明在点附近, 函数可以用 的线性函数近似表示,(3.3.1),即有,精确度不高,且无法具体估计误差的大小.,泰勒:（B.Taylor, 16851731,英国数学家）,使Pn(x)与f(x)之差是比(x-x0)n 高阶的无穷小, 并且要求给出误差.,设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,对于精确度要求较高而且需要估计误差的时候,就必须用高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式, 也就是说我们提出了下面的问题:,要找出一个关于(x-x0)的n次多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+an(x-x0)n 来近似表达 f(x),用多项式Pn(x)近似表达函数f(x), 在几何上就是要求曲线y=Pn(x)与曲线y=f(x)在点x0的邻近有很高的密切程度.,如果要求更高的密切程度, 则还应有,2. 泰勒中值定理,即要求他们在点x0相交,具有公共切线, 有相同的弯曲程度和凹凸性, 于是有:,由此可确定出 的各个系数为,从而有,下面的定理将表明(3.3.2)就是我们要找的多项式.,这里 是 与 之间的某个值.,如果函数 在含有点 的某个开区间 内具有直到 阶导数, 则当 在 内时 有,定理3.3.1 (泰勒中值定理),（3.3.3）,( 在 与 之间).,由假设可知, 在区间 内具有直到 (n+1) 阶导数, 且,对两个函数 与 在以 及 为端点的区间上应用柯西中值定理，得：,证,因为 ,故只需证明,其中 在 与 之间.,其中 在 与 之间.,照此方法继续做下去直到 次后, 得,在 与 之间, 因此也在 与 之间.,在对两个函数 与 在以 和 为端点的区间上应用柯西中值定理, 得,( 因为 ),( 在 与 之间).,注意,于是,多项式(3.3.2)称为函数按 x-x0 的幂展开的 n 次近似多项式,公式(3.3.3) 称为f(x)按 x-x0的幂展开的n阶泰勒公式,当n=0时, (3.3.3)成为拉格朗日中值公式,因此, 泰勒中值定理也是拉格朗日中值定理的推广.,而以 (3.3.4)表达的余项 Rn(x)称为拉格朗日型余项.,( 在 与 之间).,对于某个固定 n , 当 在开区间 内变动时, 若 成立, 由泰勒中值定理知, 以多项式 近似表达函数 的误差 可有如下估计,故有,即当 时误差 是比 高阶的无穷小,即,上式称为皮亚诺型余项. 当不需要余项的精确表达式时, 带皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式可写成,至此, 我们提出的问题得到圆满的解决.,（3.3.5）,在泰勒公式（3.3.3）中，如果取 ,则 在 与 之间， 因此可令 （ 0 1 ），从而（3.3.3）可写为较为简单的形式， 即麦克劳林公式.,3麦克劳林公式,或有,(3.3.6),(3.3.7),麦克劳林(C.Maclaurin,16981746,苏格兰数学家),误差估计式为 ：,麦克劳林公式只用到在原点x=0的各阶导数,因而容易求得,且泰勒公式与麦克劳林公式可以通过坐标平移相互转换，所以在理论和应用中常用麦克劳林公式。,由此可得近似公式：,(3.3.8),例3.3.1 求函数 的n阶麦克劳林公式。,所以 ex可用它的n次近似多项式表达为,解,因为,所以,代入公式（3.3.6），注意到,得,其产生的误差为：,如取 x=1, 得 e 的近似值为:,其误差为:,当n=10时， 可算出 e 2.718282 ，,误差不超过 10-6,例3.3.2 求f(x)=sinx 的n阶麦克劳林公式,解:,因为,所以,即,（m为正整数）,于是,其中,如果m分别取2和3, 则可得 sinx的3次和5次近似多项式,其误差得绝对值不超过 和 .,由此得,常用的麦克劳林公式,以上均有 01.,重要公式，请同学们推导并牢记。,例3.3.3 求,利用 ex, sinx 具有皮亚诺余项的泰勒公式,4. 泰勒公式的应用(1)求极限,解,原式=,例3.3.4 求,（分母中的 sinx用等价无穷小量x替代）,解:,原式=,用泰勒公式求函数的近似值有两种提法: 一是给定泰勒公式的阶数n, 作近似计算，并估计误差，如例3.3.1， 二是给出精确度，确定泰勒公式应取的阶数n,再作近似计算.,4. 泰勒公式的应用(2)近似计算,例 3.3.5 计算 sin10准确到10-4,设 ，取 则有,解:,由（3.3.9）式知,于是,当m=2时，,如果已知函数f(x)在点x0的泰勒公式，则可由泰勒公式确定函数f(x)在点x0 的高阶导数值，,例3.3.6 设,4. 泰勒公式的应用(3)求高阶导数,所以,求 的含皮亚诺余项的马克劳林公式, 并求:,解:,f (99)(0)=9998=9702,由于函数 麦克劳林公式中 的系数为 ，,于是有,即,例3.3.7 设函数f(x)在区间(a, b)上有,取,4. 泰勒公式的应用(4)证明某些结论,证明:,证明:,由 f(x)在点x0的一阶泰勒公式得,i=1,2 (xi在点xi与x0之间),将两个不等式的两边分别相加，即得,即当 时， 在(a, b)内是凹的(下凸)的。,该题实则证明了微积分（一）中的定理3.5.1,一、函数的单调性,，曲线上升,，曲线下降,证 仅证（i），,定理3.4.1 设函数f (x)在闭区间a, b上连续，,（i）如果在(a, b)内f (x) 0，,（ii）如果在(a, b)内f (x) 0，,则f (x)在a, b上单调增加；,则f (x)在a, b上单调减少。,（ii）的证明类似。,第四节 函数的单调性、极值和最大最小值,由拉格朗日定理, 得,即f (x1) f (x2)，,例1 讨论函数,的单调性。,在a, b上任取两点x1, x2，,由于f ()0，,因此f (x)在a, b上单调增加。,于是f (x2) f (x1)0，,不妨设x1 x2 。,f (x)的驻点：满足 的点,例2 讨论函数,的单调性。,导数为零的点和不可导的点都有可能,成为函数单调区间的分界点。,由上可知，,注：若f (x)在某区间内的孤立点处为零（或不存在），,而在其余各点均为正（或均为负），则f (x)在该区间内,仍旧是单调增加（或单调减少）的。,例4 确定,的单调区间。,例5 证明 当x 0时，,则f (x)在0, +)上连续，在(0, +)内,因为仅在孤立点x = 2n（n为正整数）处,令,证:,f (x) = 0，,故f (x)在0, +)上单调增加。,f (x) f (0) = 0，,极大值与极小值统称为极值。 极大值点与极小值点统称为极值点,设函数f (x)在点x0的某个邻域内有定义,（1）若xx0 时,二、函数的极值及其求法,恒有f (x) f (x0)，,则称f (x0)为f (x)的极大值，此时x0称为f (x)的极大值点；,恒有f (x) f (x0)，,于是x sinx .,即xsinx 0，,从而当x 0时，,定义3.4.1,（2）若xx0 时,则称f (x0)为f (x)的极小值，此时x0称为f (x)的极小值点。,函数的极值是一个局部概念，因此，一个定义在a，b上函数的在a，b上可以有许多极值，且极大值有可能小于极小值。,不存在的点。,因此极值点只能是 和,从图中可以看出，极值点一定是单增区间和单减区间的分界点，,但驻点和导数不存在的点不一定是极值点。,但f (x)在点x = 0不取得极值。,因此，极值点只可能是驻点或导数不存在的点。,例如，对函数y = x 3, y = 3x 2,x = 0是驻点,下面给出可导函数在一点取极值的必要和充分条件,定理3.4.2 （函数取极值的必要条件）若函数f(x)在x 0 处可导，且在x 0 处取得极值，则x 0 一定是f(x)的驻点。即,(3) 若在x0的两侧，f (x)不变号，,定理3.4.3（函数取极值的第一充分条件）,设f (x)在x0的某邻域内可导，且,(1) 若当x 0；,则 f (x0) 是f (x)的极大值；,(2) 若当x x0 时，f (x) 0；,则 f (x0) 是f (x)的极小值；,则f (x0)不是极值。,当x x0 时，f (x) 0，,当x x0 时，f (x) 0，,例6 求,的极值点与极值。,解,用 x =0, x = ，分割定义域成几个小区间,定义域（-，+）,列表讨论如下:,极大值点:,极大值:,极小值点:,极小值:,且f (x0) = 0，f (x0) 0，则,（ii）当f (x0) 0时，f (x0)是f (x)的极小值。,例8,的极值.,定理3.4.4（函数取极值的第二充分条件）,设函数f (x)在点x0处具有二阶导数，,（i）当f (x0) 0时，f (x0)是f (x)的极大值；,由极值第二判别法, x=1时,f (x)有极小值: f (1)=4.,由于,所以,需用极值第一判别法判定:,无极值.,三、最大值、最小值问题,（2）计算区间端点处的函数值；,例8 求函数,上的最大值与最小值。,在区间,求连续函数f (x)在a, b上的最大值与最小值：,（1）计算函数驻点与不可导点处的函数值；,（3）对以上两类函数值进行比较即得。,令,函数的不可导点为x = 0, 1 .,解,得驻点,函数f (x)在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：,比较之，得最大值：,最小值：,注1：一般地说，若函数f (x)的最大(小)值是在区间(a, b),内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值，,注2：在实际问题中，往往根据问题的性质，就可 断定,此时，如果确定f (x)在这个区间内部只有一个驻点x0 （或导数不存在的点），,可导函数f (x)在其区间内部确有最大值（或最小值），,那么，这个点就是函数的最值点,问底面半径如何选取，,S=2r2 +2rh,解 设罐头的底面半径为r，,由题设 r2h=V，即,代入上式得，,才能使用料最省（即表面积最小）？,令,得唯一驻点,因此S(r)的最小值必在r=r0处取得。此时,即当罐头的高与底面直径相等时，用料最省。,例10 甲船位于乙船以东的75海里处，,以每小时12海里的速度向西行驶，,乙船以每小时6海里的速度向北行驶，,问经过几小时两船相距最近？,解 在时刻t 时，两船相距,求S (t) 的最小值，,令,两船相距最近。,t = 5为(0, +)内的唯一驻点。所以，经过5小时，,也就是求S 2 (t)的最小值，如图,第5节 曲线的凹凸性和函数的作图,利用初等描点作图可以绘出函数的大体形状，,一般来说，描点越多，作出的图形越准确，但也存在缺陷。,1) 选点带有一定的盲目性,往往漏掉某些关键点. .,下面我们借助微分学的知识,来深入研究函数整体形态,一. 曲线的凹凸性与拐点,但仅是这些还不能比较准确的描绘出函数的研究图形。,2) 选点少了,不能准确的确定函数的弯曲方向, 选多了,计算较复杂,从而比较准确作出函数图形.,函数的单调性与极值,对于了解函数的图形,是有很大的帮助,例如 在a，b上虽然都是单调增加， 但图形却有显著不同。,是凹的曲线弧,是凸的曲线弧,则称曲线y=f(x)在a,b上是凸的。,凹：,凸：,定义3.5.1 设曲线y=f(x) 在区间a,b上连续，在(a,b)内可导。,如果y=f(x)的图形位于每一点切线的上方，,则称曲线y=f(x)在a,b上是凹的；,如果y=f(x)的图形位于每一点切线的下方，,连续曲线上，凸的曲线弧和凹的曲线弧的分界点称为 曲线的拐点。,设函数在(a, b)内具有二阶导数。,解,当x 0时，y 0, 所以曲线在(, 0上是凸的；,定理3.5.1（凹凸性判别法）,则f (x)在(a, b) 内是凹的，,则f (x)在(a, b)内是凸的。,当x 0时，y 0, 所以曲线在0, +)上是凹的。,（ii）如果对(a, b)内任一点x,都有f (x) 0，,（i）如果对(a, b)内任一点x,都有f (x) 0，,于是，曲线的凹区间为 (, 0，凸区间为0, + ) 。,定理3.5.2,当x 0, 所以曲线在(, 0上是凹；,当x 0时，y 0, 所以曲线在0, + )上是凸的。,解,设函数y=f(x)在点 处 二阶可导，,则点 是曲线y=f(x)的拐点的必要条件为,（1）当f (x)在x0处左、右两侧不同号时，,点(x0 , f (x0)是曲线的拐点；,设函数y=f(x)在(a,b)内二阶可导， 是(a,b)内一点。,（2）当f (x)在x0处左、右两侧同号时，,点(x0 , f (x0)不是曲线的拐点；,定理3.5.3,例1中，点（0，0）是曲线y = x3上凹弧与凸弧的分界点，,因此是曲线的拐点，在该点处，y=0；,例2中，（0，0）点是曲线的拐点，在该点处y不存在。,因此，曲线y = f (x)的拐点的横坐标只能是使f (x) = 0的,点或f (x)不存在的点。,求连续曲线的拐点的方法如下：,（i）求出所有使函数f (x) 的二阶导数f (x) = 0的点,和f (x)不存 在的点；,（ii）对于（i）中所求出x0，利用定理3.4.3判断。,解 函数的定义域为（ ）。,令y = 0，得,当x = 0时，y 不存在。列表讨论如下：,拐点为,二、曲线的渐近线,为曲线的一条渐近线。,渐近线有以下三种：,则称直线 y =A为曲线,水平的渐近线。,（ii）垂直渐近线,则称直线x = x0为曲线,（iii）斜渐近线：若,若动点M沿曲线 无限远离坐标原点时，,M与某一固定直线L的距离趋近于零，,（i）水平渐近线：,或,如果,a 0 时，,则称直线Y = ax +b是曲线y = f (x)的斜渐近线。,y = f (x)的垂直渐近线。,则称该直线L,定义3.5.2,解 由于,所以x=0,x =2是曲线的两条垂直渐近线。,于是，y = x 1是曲线的斜渐近线,又,(2) 讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；,三、函数作图,函数作图的一般步骤：,(1) 确定函数f (x)的定义域和图形范围；,(3) 讨论渐近线，确定图形的变化趋势；,(4)计算f (x) 和f (x)；,(5) 求函数的间断点、驻点、不可导点和拐点，将这些点由小到大， 从左到右插入定义域，得到若干个子区间；,(6) 列表讨论函数在各个子区间内的增减性、凹凸性、极值点和拐点；,(7) 求曲线上的一些特殊点，如与坐标轴的交点等，有时还要求出 一些辅助点上的函数值，然后根据（6）中的表格描点绘图。,在此区间上函数连续且为偶函数，图形关于