信号处理中常用的数学变换.ppt

机械信号处理与应用 Mechanical Signal Processing(MSP),教师：郝旺身 Tel:67781792 E_mail:,第2章 信号处理中常用的数学变换,2.1 傅里叶变换 2.2 拉普拉斯变换 2.3 Z变换 2.4 希尔伯特变换,2.1 傅里叶变换,2.1.1 傅里叶级数 2.1.2 傅里叶积分 2.1.3 傅里叶变换 2.1.4 卷积与相关函数,1. 傅立叶级数,2.1.1 傅里叶级数,傅立叶系数 是第 次谐波的系数，所以 在频率坐标轴上是离散的，间隔是 。,2. 傅立叶变换：,FT,FS：,若 是非周期信号，可以认为：,由,有,1. 对应连续非周期 对应连续周期； 2. 连续 离散 3. 密度 强度,请深刻理解FS和FT的定义，及它们的区别与联系！,FT存在的必要条件：,说法1：,说法2：,因为,因为,所以，如果 是绝对可积的，那么它一定 是平方可积的，但是反之不一定成立。例如，,是平方可积的，但不是绝对可积的。所以，取 更稳妥（即更严格）。,周期信号： 可以实现傅里叶级数的分解， 属于功率信号； 非周期信号：可以实现傅里叶变换， 属于能量信号；,在经典数学的意义上是不可实现的， 但在引入了奇异函数后可以实现。,周期信号,FS,例：令 求其傅立叶变换。,因为： 所以，严格意义上的傅立 叶变换不存在，可将其展开为傅立叶级数：,现利用 函数 将 作傅立叶变换：,线 谱,2.1.2 傅里叶积分,表达式是 傅里叶积分存在的条件是x（t）分段连续，且在区间内绝对可积。,2.1.3 傅里叶变换,DTFT和Z变换的关系！,（一）定义,1. 是离散的，所以变换需要求和；,2. 是 的连续函数；,3. 是 的周期函数，周期为 ；,4. 存在的条件是 空间,（二）特点,可以看作是将 在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是 ；,5. DTFT,7. 由 可以得到 的幅度谱、相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频频分析；,6. 是 在单位圆上取值时的 变换：,8. 反变换,四种傅立叶变换:,时域,频域,1. 连续非周期 连续非周期() FT 2. 连续周期 离散非周期 () FS 3. 离散非周期 连续周期（ ） DTFT 4. 离散周期 离散周期 DFS,？,切实理解四种FT之间的对应关系,四种傅立叶变换,1. 线性,2. 移位,3. 奇偶、虚实性质,（三）性质,如果 是实信号，即,4. 如果,则：,时域卷积定理 频域卷积定理！,2.1.4 卷积与相关函数,互相关：,自相关：,自相关函数的 DTFT 始终是 的实函数！,2.2 拉普拉斯变换,2.2.1 拉普拉斯变换的概念 2.2.2 拉普拉斯变换的性质 2.2.3 拉普拉斯变换的应用,2.3 Z变换,2.3.1 离散时间序列与Z变换 2.3.2 Z变换的性质 2.3.3 Z逆变换,时域：,复频域：,2.3.1 离散时间序列与Z变换,Laplace 变换,所以,Fourier 变换,频域：,所以，傅里叶变换是 仅在虚轴上取 值的拉普拉斯变换。,因为,对离散信号，可否做拉普拉斯变换,？,令：,则：,关系 ？,离散时间序列的傅里叶变换， DTFT,频率轴定标,例1：求序列 x (n)= an u(n) 的Z变换。,解：,为保证收敛，则,收敛域,Z平面,若 a = 1, 则,例2：,ROC:,注意：,Z变换的定义,例3：求序列 x (n)= (1/3)|n| 的Z变换。,解：,|z|1/3时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。,|z|3时，第一项收敛于 ，对应于左边序列。,1.,ROC：,右边有限长序列,3.,4.,5.,ROC:,右边无限长序列,ROC：,左边无限长序列,ROC:,双边无限长序列,思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？,Z变换的收敛域,Z变换的收敛域,对于任意给定的序列 ，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为 的收敛域。,其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：,根据级数收敛的阿贝尔定理,对于不同的序列 ，可求得相应的收敛域。,Z变换的收敛域,收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大，Z变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能除开z=0, z=。 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+ |z|0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+ |z|也位于收敛域内。,如果是左边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， 0|z| 的全部 z 值也位于收敛域内。,所以，收敛域在圆内。,如果是双边序列，收敛域由圆环组成。,Z变换的收敛域,逆Z变换,当 时，只有一个单阶极点z=a, 其围线积分为：,当n0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有:,线性性,2.3.2 Z变换的性质,序列的移位,序列乘指数序列（尺度性）,返回,返回,Z变换的性质与定理,序列的反褶,序列的共轭,Z域微分性,返回,Z变换的性质与定理,卷积定理,返回,Z变换的性质与定理,序列相乘（复卷积定理）,Parseval定理,返回,Z变换的性质与定理,逆Z变换,2.3.3 Z逆变换,从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。,逆Z变换的三种基本方法 围线积分法 部分分式展开法 长除法（幂级数展开法）,围线积分法,式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。,逆Z变换,是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点 是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点,逆Z变换,在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题得以简化。 例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。,如果 为单阶极点，按留数定理:,如果 为 阶极点，则其留数为:,解:,例1:,逆Z变换,逆Z变换,例2：,解：,|z|=|a|,围线C, 所给收敛域 为环域 原序列 必为双边序列,|z|=|1/a|,在收敛域内作包围原定的围线C,部分分式展开法,逆Z变换,1、单极点,若序列为因果序列，且NM，当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：,则其逆Z变换为：,逆Z变换,说明：1、X(z)较简单时可按算术展开求各系数Ak(k=0,1,N) 。 2、X(z)较复杂时可按留数定理求各系数Ak(k=0,1,N)，此时为了方便通常利用X(z)/z的形式求取：,逆Z变换,2、高阶极点,当上述有理分式中的MN且具有高阶极点时，若设除单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，则其展开式修改为：,式中Bk(k=0,1,N)为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为：,逆Z变换,例： 已知 ，求X(z)的原序列。,解：,由求系数Ak的公式求得,因为X(z)的收敛域为 ，为因果序列， 从而求得,将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式,逆Z变换,长除法（幂级数展开法）,若把X(z)展开成z-1的幂级数之和，则该级数的各系数就是序列 x(n) 的值。,典型例题,由收敛域知，这是一右边序列。用长除法将其展开成z的负幂级数时应将分母多项式按降幂排列。,例:,解：,即：,逆Z变换,逆Z变换,例:,收敛域 为环域， x(n)必为双边序列。,解：,对右边序列,右边序列为:,对左边序列,左边序列为:,综上可得:,逆Z变换,例:,求 的逆Z变换。,由收敛域 知原序列应为因果序列。,的幂级数展开式为,解：,2.4 希尔伯特变换,2.4.1 希尔伯特