学案7正弦定理、余弦定理及应用.ppt

学案7 正弦定理、余弦定理及应用,三角形的内容不仅能考查正、余弦定理的应用，而且能很好地考查三角变换的技巧，还可与立体几何、解析几何、向量、实际应用等知识相结合.因此是高考中常常出现的题型，各种题型都有可能出现.,(2)a=2RsinA,b=2RsinB, ; (3)sinA= sinB= ,sinC= 等形式, 以解决不同的三角形问题.,1.正弦定理: 其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为 : a:b:c=sinA:sinB:sinC;,(1),2R,c=2RsinC,2.余弦定理:a2= , b2= ,c2= .余弦定理可以变形为:cosA= , cosB= , cosC= . 3.SABC = absinC= = acsinB= = (a+b+c)r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R,r.,b2+c2-2bccosA,a2+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,bcsinA,4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其他边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其他边或角.情况 (2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题 ; (2)已知三边问题.,5.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 叫仰角，目标视线在水平视线 叫俯角（如图3-7-1中).,上方,下方,(2)方位角 指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图3-7-1). (3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.,正北,在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0. (1)求角A的大小; (2)若a= ,求bc的最大值; (3)求 的值.,考点1 正、余弦定理的综合应用,【分析】 (1)b2+c2-a2+bc=0的结构形式,可联想到余弦定理,求出cosA,从而求出A的值. (2)由a= 及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式,利用不等式,即可求出bc的最大值. (3)由正弦定理可实现将边化为角的功能,从而达到化简求值的目的.,【解析】 (1)cosA= 又A(0,180),A=120. (2)由a= ,得b2+c2=3-bc, 又b2+c22bc（当且仅当c=b时取等号）， 3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号）. 即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.,(3)由正弦定理得 ,【评析】(1)在三角形中求角,往往选择先求该角的 余弦值,然后利用余弦函数在(0,)上的单调性求角. (2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定 要重视.,【解析】,已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和，且a,b为ABC的两边，A,B为两内角，试判定这个三角形的形状.,考点2 判断三角形的形状,【分析】先由已知条件得出三角形的边角关系.要判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定.,【解析】方法一:设方程的两根为x1,x2，由韦达定理知 x1+x2=bcosA,x1x2=acosB. 由题意有bcosA=acosB,根据余弦定理得 b =a , b2+c2-a2=a2+c2-b2, 化简得a=b,ABC为等腰三角形.,方法二:同方法一得bcosA=acosB, 由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB, sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0. 0A,0B， -A-B. A-B=0，即A=B.故ABC为等腰三角形.,【评析】由三角形的边角关系判定三角形的形状，其基本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系（一般化为角较方便），然后利用简单的平面几何知识即可判定.应注意式子的等价变形和隐含条件的挖掘，以免漏解或增解.,【解析】,考点3 正、余弦定理的实际应用,如图,A,B是 海面上位于东西方向相距5(3+ )海 里的两个观测点,现位于A点北偏东45 B点北偏西60的D点有一艘轮船发 出求救信号,位于B点南偏西60且与B点相距20 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30 海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?,【分析】利用正弦定理求出BD长度，在BCD中利用余弦定理可求出CD的长度.由速度可求时间.,【解析】由题意知AB=5(3+ )海里,DBA=90-60=30,DAB=90-45=45, ADB=180-(45+30)=105. 在DAB中,由正弦定理得, =103(海里). 又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60 BC=20 (海里), 在DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBC cosDBC=300+1 200-210 20 12=900,【评析】 本题主要考查运用正弦定理和余弦定理解三角形,把实际问题转化为解三角形的问题,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力和运算求解能力.,CD=30(海里), 需要的时间t= =1（小时）. 答:救援船到达D点需要1小时.,【解析】,1.用正弦定理、余弦定理解决三角形有关问题包括: (1)三角形中的三角函数求值. (2)三角形形状的判定. 2.解三角形应用题的思维过程 (1)由实际问题开始，分析审题，从相关长度及角度的大小、位置，抽象成三角形相应边和角及相应大小、位置，从而成为一个纯解三角形问题. (2)根据解三角形的结果，再回到实际问题中，给出实际问题的结论. 由上可知这一思维活动可简单概括为实际问题数学模型解决数学问题实际问题的结论.,1.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=, + + =中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数. 2.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正