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文档简介

平面向量的数量积,已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则AOB= （0 180）叫做向量a与b的夹角.,O,B,A,向量的夹角,一、问题情境,其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.,数量 叫做力F 与位移s的数量积,已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab ab=|a| |b| cos,规定:零向量与任一向量的数量积为0.,数量积的定义,注意：1.两个向量的数量积是数量，而不是向量.,2.书写时“”不能省略.,4.的范围,我们得到a b的几何意义： 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.,数量积的几何意义,B1,两个向量数量积的性质：,（1）e a=a e=| a | cos,（2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据),（3）当a 与b 同向时，a b =| a | | b |，当a 与b 反向 时， a b =| a | | b | 特别地,（4）,（5）a b | a | | b |,数学应用,2.判断下列各题是否正确：,1若a =0，则对任一向量b ，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b ,有a b0,3若a 0，ab =0，则b=0,4若ab=0，则ab中至少有一个为0,6若a0，a b= a c，则b =c,5对任意向量 a 有,数量积的运算律,交换律：,对数乘的结合律：,分配律：,注意：,数量积不满足结合律,例 2：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,例3、,两个向量的数量积是否 为零,是判断相应的两条 直线是否垂直的重要方 法之一.,练习：,基础训练题,A. 4个 B.3个 C. 2个 D.1个,D,B,B,巩固练习,三、典型例题分析,进行向量数量积 计算时,既要考 虑向量的模,又 要根据两个向量 方向确定其夹角.,例2如图，已知菱形ABCD的边长 为2， .,(1)求 与 的值；,(2)求 、 、 的值；,(3)求 、 、 的值；
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