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第三节 数量积和向量积,一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、三个向量的混合积 四、小 结,启示,实例,两向量作这样的运算, 结果是一个数量.,定义,一、两向量的数量积,数量积也称为“点积”、“内积”.,结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,数量积的性质,证,证,数量积符合下列运算规律:,(1)交换律:,(2)分配律:,(3)若 为数:,若 、 为数,设,数量积的坐标表达式,特别地,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,内容回顾,2。数量积的性质,3。数量积的坐标表达式,设,5。两向量垂直的充要条件为,4。两向量夹角余弦的坐标表示式,解,证,实例,二、两向量的向量积,定义,向量积的两个简单性质:,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,向量积符合下列运算规律:,(1),(2)分配律:,(3)若 为数:,向量积的坐标表达式,设,向量积还可用三阶行列式表示,向量积为零向量的坐标表示,/,向量积的几何意义,例如,,/,解,解,三角形ABC的面积为,解,三、三个向量的混合积,定义:称,混合积的特征,(1)混合积是一个实数。,(2)在直角坐标系中混合积的计算,为三个已知向量,的混合积,,记为,(3)混合积的几何意义,(3)混合积的几何意义,例:试利用混合积的几何意义证明,证明:,() 共面的条件,课外练习题,第七章作业,第三
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