空间的直线方程.ppt

4 空间直线及其关系,一、空间直线方程的形式,定义 设L是空间中一已知直线，如果非零向量,平行于直线L，则称,为直线的方向向量。,x,y,z,0,M0,M,1 空间直线的对称式或点向式,问题：设直线L经过定点P0(x0,y0,z0),并以,为方向向量，则直线L的位置完全确定，试建立直线L的方程。,设P(x,y,z)是空间中异于P0的任一点，则点P在直线L上的充要条件为：,由两向量平行的充要条件可得：,（1）,称（1）为直线L的对称式方程。,在(1)式中，令,则,t为参数 （2）,称（2）式为直线L的参数方程,约定：,例1 求过点 A(1, 1, 1)，B(1, 2, 3)的直线 l 的对称式 方程、参数方程.,解：l 的方向,则得 l 的对称式方程,参数方程,2 空间直线一般方程,称（3）式为空间直线L的一般方程,当把直线看作两个相交平面的交线时，直线L的 就可以写成联立方程组的形式：,点P0(x0,y0,z0)在L上的充要条件是：,x0,y0,z0同时满足（3）式的两个平面方程.,化一般方程为点向式方程或参数方程。,例2 用对称方程及参数方程表示直线,l：,解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得 l 上一定点和 l 的方向即可.,现求一定点. 将联立方程组,相加:,令z = 1得 x = 3, y=1,得一定点(3, 1, 1). 故得对称式,即而得参数方程：,x = 3 + 4t,y = 1 t ,z = 1 3t .,t 为参数.,练习 用对称方程表示直线,l：,解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得 l 上一定点和 l 的方向即可.,现求一定点. 将联立方程组,令x = 1得 y= 1, z =2,得一定点(1, 1, 2). 故得对称式,定理,二 两直线的位置关系,三 点到直线的距离,四、两直线的夹角、直线与平面的夹角,1、两直线的夹角,特例：,l1 / l2,l1 l2,例4 求直线l1：,直线l2：,的夹角。,解： 两直线的方向向量分别为：,2、直线与平面的夹角,我们称直线 l 与它所在平面 上的投影直线的夹角为该直线与平面的夹角(通常要求 ).,l,设直线 l ：,平面 ：,【注】,（2）一般情形平面 的法向量n,l的方向向量v，则有：,（1）当直线 l 垂直与平面 时，其夹角为,由此可知：,（I）,（II）,例5 求直线l：,且有平面：,则直线l（ ）,解： 直线l的方向向量,（A）平行平面 （C）在平面上,（B）垂直平面 （D）与平面斜交,定义,定理,五 平面束,这样，方程,定理,定义,六 两直线之间的距离,若两直线相交则距离为0，若平行则两直线之 间的距离等于任意一点到另一条直线之间的距离.,定理,证明由上图的几何意义容易得到,【1】求过点M0(3, 3, 0)且与直线,l1:,垂直相交的直线 l 的方程.,解：,设所求直线 l 与 l2 与交点为M1(x1, y1, z1).,则,本节综合习题,令, t + t + 22t 6 = 0.,t =1,得 (x1, y1, z1)=(1, 1, 2).,故直线方程为,【2】 设平面过直线 l1:,且平行于直线l2：,解：两直线的方向向量分别为,求平面的方程。,则平面的法向量,故可假设平面的方程为：,代入(1,2,3)，得D=2,所以平面的方程为：,【3】 过点P0(1,2,1)和直线 l1:,的平面方程。,解：由于P0不在平面,上，故平面,不为所求平面； 通过直线l的全体平面可表示为：,由于点在所求平面上，故代入上式可得,从而所求平面的方程为：,【练习】求直线 l1:,x+y1=0,y+z+1=0,在平面 : 2x+y+2z = 0 上的投影直线的方程.,解：直线l1的方向,=(1, 1, 1).,再求 l1 与 的交点M0(x0, y0, z0). 即联立求解,x+y 1=0,y+z+1=0,2x+y+2z=0.,消元,x + y 1 = 0,y+z+1=0,y+2z+2=0.,x + y 1 = 0,y+z+1= 0,3z+3= 0.,得(x0, y0, z0)=(1, 0, 1).,任取 l1上(不在 上)一点M1(x, y, z)=(0, 1, 2) .,作过 M1且垂直于 的直线l2 :,设 l2 与 交点为M2(x2, y2, z2)，则相应参数 t 满足,22t +1+t+2(2+2t )=0,得交点 M2(x2, y2, z2),所求直线方程为,即,思想：, 求直线与 交点M0；, 求直线上平面 外一点M1 ；, 求过 M1 垂直于 的直线 l2 ;, 求 l2 与 的交点M2 ；, 求过M0，M2 的投影直线方程.,解：由题意，只需求过 l 的平面束中的一个垂直于的平面1，即由直线的一般形式(也称交面式)求得投影直线.,过 l 的平面束为,下面我们用平面束来解题,得1：, 投影直线为,xz 2=0, 过1,2x+y +2z=0, 过.,令 1=1,即,小结,空间平面,空间直线,一般形式,法点式,截距式,(三元一次方程),Ax+By+Cz+D=0.,交面式,对称式:,参数形式:,两点式:,(一般形式)：,三元一次方程组.,x=x0+mt,y=y0+nt ,z=z0+pt ;,关系,直线间夹