指数分布和正态分布.ppt

均匀分布 3.3 指数分布 3.4 正态分布,几个重要的连续型随机变量,一、均匀分布 定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为 则称 X 服从a, b上的均匀分布， 记作：X U a, b,可得，如果随机变量 X 服从区间a, b上的均匀分布，则随机变量 X 在区间a, b上的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。,均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。 再者，假定班车每隔a分钟发出一辆，由于乘客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具有等可能性），故可以认为候车时间服从区间(0，a)上的均匀分布 ,例1 某公共汽车每10分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不超过3分钟的概率. 例2 设随机变量X 服从1，6上的均匀分布，求以下一元二次方程有实根的概率。,二、指数分布 定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为 则称 X 服从参数为的指数分布， 记作：X exp (),指数分布的应用背景： 因为指数分布只可能取非负实数，所以它被用作各种“寿命”分布的近似分布，例 （1）电子元器件的寿命， （2）随机服务系统中的服务时间等,例3 某电子元件的寿命X(年）服从参数3的指数分布 （1）求该电子元件寿命超过2年的概率。 （2）已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率,指数分布具有无记忆性： 若X表示一电子元件的寿命，上式表明一个已经使用了时间s（单位）未损坏的电子元件，它能够再继续使用时间t以上的概率与一个新的电子元件能够使用t以上的概率是相同的。（与过去经历的时间无关）,例4 某种型号灯泡的使用寿命X小时是一个连续型随机变量，其概率密度为 （1）任取一只灯泡，求这只灯泡使用寿命在1200小时以上的概率。 （2）任取两只灯泡，求两只灯泡使用寿命都都在1200小时以上的概率。,例5 设连续型随机变量X服从参数为（0）的指数分布，且已知 （1）求参数值 （2）概率P(50X150),三、正态分布 定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为 其中 及 0都为常 数， 则称 X 服从正态分布（或高斯分布）， 记作：X N (，2),（1）非负性 （2）正规性,特别地，当=0 及=1 时，其概率密度为 则称 X 服从标准正态分布， 记作：X N (0，1),正态分布密度函数： （一）、特殊情形：标准正态分布 （1）偶函数（关于x=0对称），在负半轴单调上升，在正半轴单调下降； （2）曲线在x=0处达到峰值(最高点) （3）曲线以x轴为渐近线,（二）、一般情形：正态分布 （1）关于直线x=对称.，在负半轴单调上升，在正半轴单调下降； （2）曲线在x=处达到峰值(最高点) （3）曲线以x轴为渐近线 两头低，中间高，对称的特征。,当固定, 而改变 值的大小时，(x)图形的形状不变，只是沿x着轴平移, 故称为位置参数,当固定 , 而改变值的大小时，(x)图形的对称轴不变，而形状在改变， 故称为形状参数,=1,越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.,很多现象可以用正态分布描述或近似描述： 比如： 同龄人的身高和体重； 在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸； 农作物的产量，小麦的穗长、株高； 测量误差， 都服从或近似服从正态分布.,正态分布的分布函数： （一）、特殊情形：标准正态分布 若 则其分布函数为 称其为标准正态分布函数。,（1）0(0) =0.5 （2）当x0时，查标准正态分布函数表（附表2） （3）当x0时 ,利用关系式,0(x) 的计算,比如： 0(0) 0(1) 0(-1) 0(2) 0(-2) 0(3) 0(-3),=0.5 =0.8413 =0.1587 =0.9772 =0.0228 =0.9987 = 0.0013,相关事件的概率计算 若 则X在各类区间的概率等于0(x)在该区间的积分，用0(x)表示如下：,(1) P(X a) = 0(a); (2) P(Xa) =10(a); (3) P(aXb) = 0(b)0(a); (4) 若a 0, 则 P(|X|a) = P(aXa) = 0(a)0(a) = 0(a) 1 0(a) = 20(a)1,若 则 这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,P(|X|3) = 20(3)1=0.9974,P(|X|1) = 20(1)1=0.6826,P(|X|2) = 20(2)1=0.9544,（二）、一般情形：正态分布 若 则其分布函数为,定理 若 则 从而X取值于某区间的概率问题转换为了标准正态分布随机变量Y的取值概率计算。,若 则 这说明，X的取值几乎全部集中在-3，+3内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.称为3法则,例6. 已知连续型随机变量X服从标准正态分布，函数值,则概率P(-1X0)=_.,例7.已知连续型随机变量 函数值,则概率P(|X|2.88)=_.,例8.已知连续型随机变量 函数值,求：(1)P(0X2),(2)P(X-2),(3)P(X2),例9.已知连续型随机变量 若概率,则常数c=( ),例10.已知连续型随机变量 若概率,则常数=_.,例11.某大学男生体重Xkg是一个连续型随机变量，它服从参数为=58kg,=2kg的正态分布，从中任选1位男生，求这位男生体重在55kg60kg的概率。 （函数值 ）,例12.某地区语文统考成绩X分是一个离散型随机变量，近似认为连续型随机变量，它服从正态分布 ，规定试卷成绩达到或超过60分为合格，若=70，合格率为89.44%，求：,（1）参数的值；,（2）任取1份语文试卷成绩超过80分的概率；,（3）任