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文档简介
1. 题目 解:,比较n次方系数即可证。,2. 题目 解:,分析 的结构可知仅当 时有 项,三个系数相加即为所求,3. 题目 解:,用指数型母函数,可得母函数,系数即为所求。,4. 题目 解:,A、B、C、D组成的全排列数为,出现A后,其后续字母必为A、B、C、D中的一个,其概率相等。,AB至少出现一次的排列为,排列数为,5. 题目 解:,对符合题设要求的排列如果0可以出现在最高位,则可得母函数:,但是对n位四进制数来说最高位不能为0。,6. 题目 解:,参见第四题解答前半部分。,7. 题目 解:,题设中序列的母函数为:,由$4性质3得,上式,8. 题目 解:,等式的右端相当于从n+m+1个球中取n+1个球的组合。 把这n+m+1个球编号,如果取出的n+1个球中最小编号是一,则得到 如果最小编号是二则得到 如果最小编号是m则得到 。 可证,9. 题目 解:,由推导过程知,令,求导得,令,即,解得,将 代入 得,10. 题目 解:,把单位看成元素,共12个元素 其中 第1单位有3个 第2单位有4个 第3单位有5个 则命题可看成从12个元素中取8个的组合。母函数为:,其中 项系数为所求,11. 题目 解:,用归纳法可证明: 1)当k=1时命题成立 2)设当k=N时命题成立 即N可唯一表示成不同且不相邻的F数之和。 则当k=N+1时,明显可以分成N的序列再加上1( ),但这可能会不能满足“不同且不相邻”的条件。 下面予以讨论,先讨论相邻的 ,明显若有 ,则可用 代替。以此类推可解决相邻问题。 再讨论相同 ,可把超过1个的 分解为 再用结决相邻问题的方法即可解决 命题得证,12. 题目 解:,设n个满足条件的平面把空间分成 个域n-1个满足条件的平面把空间分成 个域 则第n个平面与这n-1个平面有n-1条交线,且这些两两相交,任三线不共点。 第n个平面被这n-1条线分成 个域 增加了 个域。可得,设,解得,13. 题目 解:,设符合条件的n位二进制数的个数为 这些数中一共有 个0 当n位二进制数最高位为1时,符合条件 的n位二进制数的个数为,最高位为0时,次高位必为1符合条件 的n位二进制数的个数为,即 是F数列,特征方程为:,设,解得 、 为重根。,分析上式结构可得:,把n=2代入可解得:,代入,可得方程组,解得,14. 题目 解:,设n为偶数 1)先把n-1个盘通过C移到B 2)把第n个盘移到C 3)把n-3个盘通过C移到A 4)把第n-2个盘移到B 对n为奇数时上述四步仍然成立,但是B、C对调。,其中,为Hanota数列。,可得特征方程:,解得,设,代入初值可解得,15. 题目 解:,设m层中有k层不在原来的层上,m-k层在原有层上,但是每册都不在原来的位置。,16. 题目 解:,把AD看成1 则AB为,同理可得其他矩形相似,满足条件的n条直线把平面分成 个域,其中n-1条直线分割成的域数为 ,第n条直线与这n条直线均相交。 被分成n-1+1=n段。 增加的域数为n。,17. 题目 解:,设,解得,18. 题目 解:,n-1个点把圆分为 部分,加上第n个点则增加了n-1条弦 增加第1条弦,被其他弦分成0段 增加第2条弦,被其他弦分成1x(n-2-1)段 增加第n-2条弦,被其他弦分成(n-3)(n-2-n+3)段 增加第n-1条弦,被其他弦分成0段,19. 题目 解:,设n-1位不出现11的个数为 n-2位不出现11的个数为 n位不出现11的个数为 则,即 特征方程为,设 代入得,20. 题目 解:,设所求为 则,21. 题目 解:,是n的4次方,满足第推关系,设,代入可解得,22. 题目 解:,由矩阵的结构知,只要求出K即可,24. 题目 解:,当r是奇数(1)时,当r是偶数时,25. 题目 解:,I 当n是偶数时 对所有符合条件的 来说,每边增加1各单位,则可构成符合条件的 。,设短边为a、b,长边为c,则(a+b)-c=2即a+b-2c-1,对所有符合条件的 来说,每边减少1各单位,则可构成符合条件的 。,II 当n为奇数时 由I的讨论知, 比 多了a+b-c=1的三角形。 而这种三角形可知,当 能被2整除时,这种三角形有 个,当 不能被2整除时,这种三角形有 个,(2),27. 题目,1)证明,同理可证,3)解,28. 题目 1)证明,用数学归纳法 I k=2时 成立,即 II 设k=m时成立 则k=m+1时,,用归纳假设,由I、II知题设成立。,2)证明,作了k次后,若,则上式,当n是偶数时,最后一次会出现 项,3)证明,当n是奇数时,最后一次会出现 项,4)证明,用2)的结论,下面证明是最大公约数 设 不是最大公约数, 是 则 则 与 矛盾 是最大公约数,30. 题目 证明,设与第n+1号球同盒的球有n-k个,这样,其他k个球就放入另外m-1个盒子, k=m-1,m,n。 即从n个不同的球中取k个放入m-1个相同的盒子的方案有,31. 题目 解:,特征方程为,解得,代入
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