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微分几何 Differential Geometry,预备知识,曲线曲面的表示,显式函数表示Explicit,曲线曲面的表示,隐式表示Implicit,代数几何：多项式（组）的零点集 Algebraic geometry ：variety,曲线曲面的表示,参数表示Parametric curve & surface,Space curve cylinder,Shape modeling,Surface reconstruction(static) From CT or optical images, raw point data, Data repairing, registration, resampling, smoothing,Point cloud mesh NURBS texture No connection connected parametric,meshing,paramerization,Dynamic modeling Feature driven morphing Parametric modeling Physical constrained animation ,Shape modeling,三维欧式空间中的标架 Coordinate system,标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁,向量 vector,向量是一个有向线段，具有大小和方向，用 表示 向量运算 内积 对称性，双线性，正定性 外积 反对称性，双线性,向量内积,定义 运算法则 常见性质,向量外积,定义 运算法则 常见性质,b,a,S=|a b|,b,c,a b,a,S=|a b|,h,向量混合积,h,a,c,a b,b,.,其混合积 abc = 0,三矢 a, b, c共面,几何意义,仿射标架 对于任意点,标架,笛卡尔直角坐标系,设 是 的标架，并且 是相互垂直、构成右手系的3个单位向量，这样的标架是右手单位正交标架，简称正交标架（Orthogonal Frame ）。 由正交标架给出的坐标系叫笛卡尔直角坐标系（rectangular Cartesian coordinate system）,笛卡尔直角坐标系,点 向量 设向量 内积 外积,笛卡尔直角坐标系,距离distance 三维欧式空间通常写成 ,向量 的长度为,坐标变换,取定一个正交标架 (绝对坐标系). 则任意一个正交标架 被 P 点的坐标和三个基向量 的分量唯一确定,坐标变换,变换矩阵 正交、|A|=1、旋转变换 对 下的一点 ，在 下的坐标为,正交变换,刚体运动 下变换的像点与原来点的关系,刚体变换,定理1.1 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于 中的任意两个正交标架，必有 的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架. 空间 到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换 称为等距变换.,Types of Transformations,Continuous (preserves neighbourhoods) One to one, invertible Classify by invariants or symmetries Isometry (distance preserved) Reflections (interchanges left-handed and right-handed) Rigid body motion: Rotations + Translations Similarity (preserves angles) Uniform scale Affine (preserves parallel lines) Non-uniform scales, shears or skews Collineation (lines remain lines) Perspective Non-linear (lines become curves) Twists, bends, warps, morphs, .,仿射标架,空间一点P和三个不共面的向量 组成的标架 ，不要求满足单位正交性质。 把 称为放射标架 的度量系数 构成12维的向量空间,作业,设直线L过点 方向为 （单位向量），求直线外一点 绕直线按右手方向旋转 角的坐标。 提示：以向量v为标架的一个向量，再通过点P，X构造另外两个向量，以P为原点，构造新的正交标架；计算X点在新的标架下的坐标，做旋转变换，再计算在原坐标系下的坐标。,向量函数,vector valued function,向量函数,所谓的向量函数是指从它的定义域 到 的映射 设有定义在 区间 上的向量函数 连续、连续可微是指 都关于t连续、连续可微,向量函数微分和积分,求导 积分,向量函数的求导和积分归结为