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第七章 证券投资组合理论与方法,第一节 马柯维茨的证券组合理论 第二节 证券组合分析的简化模型,回本章目录,第一节 马柯维茨的证券组合理论,马柯维茨证券组合理论作为一种投资方法归纳起来共有四个步骤： 一是想购买最佳证券组合的投资者先要确定一系列的证券作为考虑对象； 二是对这些证券的前景进行分析，即进行基本分析和技术分析，对所考虑的所有证券的收益率、方差和协方差作出估计； 三是要确定有效边界，这就是要利用估计出的预期收益率、方差和协方差，来确定构成有效边界的有效证券组合的组成部分和位置； 四是要找出投资者的最佳证券组合，即找出投资者的无差异曲线与有效边界的切点。,回本章目录,一、证券组合收益和风险的统计测定 （一）单一证券收益和风险的测定 单一证券收益率： 式中：R代表收益率；W0代表期初证券市价；W1代表期末证券市价及 投资期内投资者所获收益的总和. 风险是指投资者投资于某种证券的不确定性，以预期收益率的标准差来表示。 预期收益率： 证券收益率的标准差： 代表风险；Ri代表所观察到的收益率；E(R)代表预期收益率；Pi代表各个收益率Ri出现的概率。,回本章目录,【例7-1】某投资者投资某种股票的投资收益率Ri和出现的概率Pi如表7.1。 表7.1 某种股票的投资收益率和相应的概率,回本章目录,【例7-1】续： 预期收益率： 标准差： 计算结果表明，该种股票的平均收益率为11%，风险为1.45%，其收益率在11%1.45%的范围内变动。,回本章目录,（二）证券组合的收益和风险的测定 1.证券组合预期收益率的计算 投资组合的预期收益率： 式中：Rp代表证券组合的预期收益率；Xi代表对于第i种证券的投资比例；Ri代表第i种证券的预期收益率。 2.证券组合风险的测定 协方差：协方差表示两个随机变量之间关系的变量，是用来确定有价证券组合收益率方差的一个关键性指标。 A.上式为正，则表明证券A和证券B的收益有相互一致的变动趋向； B.上式为负，则表明证券A和证券B的收益有相互抵消的趋向 。,回本章目录,2.证券组合风险的测定（续） 相关系数：它的值在-1到+1之间。它表示两种证券的相互影响程度。 A.上式为+1时，完全正相关； B. 上式为-1时，完全负相关； C.上式为0时，完全不相关。,回本章目录,例：现某一投资者考虑投资于国库券和股票，关于两者的资料见表7.2。试计算当等比例投资于这两种证券时的组合风险。 表7.2 国库券和股票收益率资料,回本章目录,例（续） 解：（1）单证券标准差 和 （2）两证券组合标准差 协方差： 相关系数 ： 两证券组合的标准差：,回本章目录,例（续） 结论： 从本例我们发现，证券组合风险的大小由以下三个因素决定： A、每种证券所占的比例; B、证券收益率的相关性; C、每种证券的标准差。,回本章目录,（三）证券组合效应的图示分析,1、两种股票组合效应图示及其分析 两种股票组合效应图如图7.1所示。,图7.1 两种股票组合效应图,回本章目录,1、两种股票组合效应图示及其分析（续） A、B点分别表示证券甲和乙的比例为100%，这里的三条直线AB、AG、GB分别表示相关系数为+1和-1时，证券甲和证券乙分别在组合证券中所占的比例，曲线AB是一条双曲线，表示 时的证券甲和证券乙所占的比例。 （1）线段AB，相关系数=+1，一揽子证券未产生组合效应。 （2）曲线AB，相关系数=0，股票甲的比例变化，组合证券产生组合效应，随着证券甲比例的变化，风险程度均比单独购买一种股票为好。以P点为转折点，在ANP和POB上，出现了具有相同风险但是收益的期望值不同的两个点。,回本章目录,1、两种股票组合效应图示及其分析（续） （3）交于G点的AG和GB，相关系数= -1，A点沿着相关关系为-1的线段上进行运动，当运动至G点时， ，此时的证券甲的比例为 ,过了G点，风险又逐步回升。AG和GB上的点风险相同，但是存在着期望值不同的对应的两个点，如L点和M点，这也表明A点沿着GB运动比AG为优。 结论：从以上分析可知，组合证券沿着所有线段运动都是可以的，但存在着一些比其他效应为优的线段。,回本章目录,2.多种股票组合效应的图示及其分析 图7.2 三种股票组合的各种曲线图 由图7.2看出,P2风险小于P1，因此，风险厌恶者偏好于P2组合股票，风险爱好者偏好于P1组合以获得更高的预期收益。P3被P2 严格占优，其风险与P2一样，但预期收益却远较低。 结论：选择收益好的组合股票原则： （1）风险相同，但是收益较其他为高的组合股票； （2）或收益相同，但风险比其他要小的组合股票。,回本章目录,（四）投资分散化和证券组合的最佳规模分析 投资分散化考虑的三个因素： 1、证券种类；2、证券行业分布；3各证券在组合中的比例。 风险=系统风险+非系统风险 系统风险属于不可分散的风险，而非系统风险则属于可分散的风险。可分散的风险可以通过合理的投资组合予以消除。 按伊文斯和阿切尔的分析，证券组合的数目大约在816之间为最佳规模。,回本章目录,二、证券组合的效用分析,（一）证券组合的效用函数 不同证券组合的收益率产生不同的效用值，效用与证券收益率的对应关系就是效用函数。例如： 其中，R代表收益率，U代表效用 由于证券收益的不确定性，效用函数所反映的证券组合效用也是不确定的。效用期望值的公式为： 式中：E(U)代表效用的期望值；Pi代表与收益率相对应的概率；Ri代表各种收益率。,回本章目录,（二）效用函数的基本类型,1.凸性效用函数 图7.5 凸性效用函数,一般而言，效用函数越凸， 投资者越规避风险。,回本章目录,（二）效用函数的基本类型,2.凹性效用函数 图 7.6 凹性效用函数,凹性效用函数的投资者是喜欢风险的。,回本章目录,（二）效用函数的基本类型,3.线性效用函数 图7.7 线性效用函数,其投资收益率的边际效用是一个常数，投资者属于风险中性者。,回本章目录,（三）效用函数期望无差异曲线,从理论上讲存在无数种组合方案，使得在效用函数一定的条件下，这些组合都有相等的效用期望值。 投资者风险规避程度影响无差异曲线斜率：风险回避越高的投资者，他的无差异曲线就越陡峭，斜率越大。,回本章目录,无差异曲线有两个重要的特点： 1.位于同一条无差异曲线上的所有证券组合，对投资者都具有相同的偏好。这一特点反映在图上就是无差异曲线之间不能相交。 2.在坐标系中，越是位于西北方向的无差异曲线上的证券组合越为投资者所偏好。 图7 .12 无差异曲线的特点,回本章目录,（三）效用函数期望无差异曲线（续）,三、有效边界的确定 （一）有效边界的概念 在风险和收益的权衡中,投资者必然采取如下策略： （1）在风险相同的条件下，选择期望收益最大的证券； （2）在期望收益相同的条件下，选择风险最小的证券。 马柯维茨理论假设： （1）市场是有效的，即市场上的任意证券信息都是已知或可以知道的； （2）投资者是风险的厌恶者； （3）所有投资决策都是依据投资的期望收益及其方差做出； （4）投资单元是完全可分的，即假定所有的证券是无限可分割的，投资者可按任意比例买卖； （5）收益率和风险是并存的，要想得到高收益，就必须冒高风险。,回本章目录,有效边界定理：一个投资者将从在各种风险水平能够带来最大收益率的，以及在各种预期收益率水平上风险最小的证券组合边界中选择出最佳证券组合。满足这个定理的证券组合边界叫作有效边界。 图7.13 有效边界,回本章目录,（二）有效边界的确定 1.图解法适用于证券种类不超过三种的投资组合 假设三种证券A、B、C,可以求得 关于 的函数： 【例7.3】三种股票的收益率、方差、协方差等数据如 表7.7所示。 表7.7 三种股票的收益率、方差、协方差数据,回本章目录,解：相同收益条件下证券组合的不同比例 斜率： 截距： 代入前面函数可得等收益直线如图7.14。 图7.14 等收益直线,回本章目录,解（续）： 相同标准差条件下的不同投资比的证券组合： 将 代入求方差的公式可得： 一般形式为 是椭圆通式。,回本章目录,1.图解法（续） 选定一个方差,设定某种证券的比例,通过反复重复这个计算过程，可以得到所希望得到的椭圆上的许多点。随着所选的证券组合的方差变小，椭圆的大小也变得越来越小，最后收敛于点MVP。对于给定的含有三种股票的协方差矩阵，点MVP则表示了可能达到的最低的证券组合方差。 得到如下等方差椭圆： 图7.16 等方差椭圆曲线（2）,1.图解法（续） 等预期收益率线与等方差椭圆重叠画于图7.17中。直线NY为临界线，它表示出最小方差边界中的证券组合的投资比例。通过描述等预期收益率线与等方差椭圆相切的点的轨迹就可以得到该临界线。 图 7.17 最小方差边界中证券组合的投资比例,回本章目录,根据临界线上不同的XA,XB组合,可以得到有效边界如图7.18。 图7.18 有效边界,回本章目录,2.数学分析法 （1）极小微分法.当证券组合中包含三种以上的证券时, 三种以上的证券组合方差为： 根据有效边界定理，投资者在收益率一定的条件下，总是寻求风险最小的证券组合：,回本章目录,引入拉格朗日目标函数,并做偏微分,可得： 解此联立方程组 给出不同的 ，则可以得到不同的 ，并求出 ，这样就可以得到有效边界曲线。,回本章目录,（2）极大微分法。计算投资组合中收益率为最大的情形，进而求出有效边界曲线。 上式中的（3）是限制行数，要求出 的极大值。假设为投资者的风险规避系数，值从0到无穷大。若=0，表示投资者 是风险爱好者，愿意承担相当大的风险；若，则表示投资者较为保守，不愿意承担太大的风险。在极大微分法中，须在Rp前乘。,回本章目录,利用拉格朗日目标函数法，得到如下函数形式： 要求Y值的极大化，将Y对所有的Xi以及求偏微分，并使其为0，可得： 可以解出 将不同类型投资者的不同数值的代入，即求得Xi，进而求得Rp和p，在坐标系上可以得到不同的证券组合，并画出有效边界曲线。,回本章目录,（3）二次规划法。当 时 数学模型为： 求解有效边界： 这里介绍常用的有效集法。其基本思想是选取一个初始的可行解，找出该点的有效集，然后按照使其目标函数值下降的原则，对有效集不断调整，最终使目标函数达到最小。,回本章目录,（3）二次规划法（续）,假定有如下标准的二次规划问题：,回本章目录,（3）二次规划法（续）,回本章目录,（3）二次规划法（续）,回本章目录,（3）二次规划法（续）,回本章目录,线性规划法。,回本章目录,线性规划法（续） 为了消除目标函数中的绝对值，我们采用一种变形处理。因为最小值问题：,回本章目录,运用灵敏度分析，改变某一证券的预期收益率，可快速测算证券组合的变化，也可通过改变预期收益率，求出在绝对离差作为风险时的证券组合的有效边界。 该模型的缺点是不便于进一步的分析处理，如分析证券之间的相关程度，以及显著性检验，确定执行区间等。,线性规划法（续）,回本章目录,（三）有效边界的凹性 为了证明有效边界具有凹性，现举例如下： 证券1，估计预期收益率R1=5%,标准差1=20%；证券2，估计预期收益率R2=15%,标准差2=40%。我们考虑投资者购买这两种证券的所有可能组合。X1和X2分别代表各自的投资比例，X1+X2=1。 表7.11 7种不同的投资方案,回本章目录,回本章目录,回本章目录,例子（续） 表7.12列出了7种证券组合标准差的下限和上限。 表7.12 证券组合标准差的下限和上限,回本章目录,例子（续） 从表7.12中的数据可得到证券组合风险分析的图形，见图7.21。 图7.21 证券组合风险分析,回本章目录,例子（续） 图7.21中A、G两点所连成的线段上的点分别表示收益率与标准差上限组成的点。 图7.21中的 则表示收益率与标准差下限组成的点。 由此可见包含有这两种证券的任何证券组合的点都位于 三角形内,至于证券组合点的确切位置则依赖于两种证券相关程度的大小。 从两种证券组合分析得到的结论，同样适用多种证券组合的情况。只要相关系数大于-1和小于+1，证券组合构成的形状就为凹性。因此，可以得出一般的结论，有效边界具有凹性。,回本章目录,（四）最优证券组合的选择 有效边界上的所有点对应的证券组合在收益一定的条件下风险最小，或者在风险一定的条件下收益最大，而有效边界以上的区域都是不可能的组合。因此，投资者所要选择的最优证券组合依靠将无差异曲线及有效边界相切的点中求得。 图 7.22 有效边界及无差异曲线切点图,回本章目录,（四）最优证券组合的选择（续） 对于高度风险喜好型和轻度风险喜好型的投资者来说，他们的最优证券组合如图7.23和图7.24中的B1和B2所示。 图7.23 最优证券组合选择（1） 图7.24 最优证券组合选择（2）,回本章目录,第二节 证券组合分析的简化模型,一、单指数模型 （一）单指数模型的结构和特性 1、单指数模型的结构：单指数模型基本思想是认为证券收益率只与一个因素有关。假定每种证券或多或少地受股票市场股价指数的影响。其模型为： 式中：Ri代表第i种证券的收益率；Rm代表股票市场股价指数收益率；A代表证券收益率中独立于市场的部分；代表证券收益率对股价指数收益率的敏感程度； 代表剩余收益率，它是一个随机变量，测度与平均收益率之间的偏差。,回本章目录,1、单指数模型的结构（续） 该模型假设两种因素影响证券收益率： 宏观经济环境的变化。宏观经济变化会影响市场股价指数的变化，并通过市场驱动影响到每个证券收益率的变化。 微观因素的影响，具体表现为股份公司内部环境的变化。微观因素的影响能使证券收益率高于或低于正常水平，在模型中，它引起A和 的变动。 图 7.25 模型的特征线,回本章目录,1、单指数模型的结构（续） 单指数模型中有两个基本假设： （1） 的均值 ，对于一切 、 不相关，即 。 （2）市场指数和独立的证券收益率不相关，即协方差 根据上面两个假设，可以得到以下单指数模型中关于某种证券的预期收益率、方差和协方差 ： （1）某种证券的预期收益率公式： （2）任何证券收益率的方差公式： 我们可将某种证券收益率的方差分为两部分：系统风险 （主要由宏观因素影响产生）和非系统风险 （主要由微观因素影响产生） （3）任何两种证券间的协方差公式：,回本章目录,1、单指数模型的结构（续） 估计单指数模型的优点：设有N种股票的数据，如果我们估计出每种股票的 和 、 以及市场预期收益率和方差，我们就能估计出任何证券组合的预期收益率的方差，这时估计的参数只有3N+2。这相对于马柯维茨方法选择最佳证券组合是大大地简化了。 假如跟踪150到250种股票，若用马柯维茨方法，就必须估计150到250个预期收益率数据，150到250个方差数据，以及11175到31125个相关系数数据。对单指数模型来说，只需估计452到752个数据，这比11175到31125个数据值要少多了。,回本章目录,2.单指数模型的特征 从而单指数模型可写成： 组合预期收益率： 对于任何确定的 ,只要 和 ，就可使 。 可用来检验市场风险对某种证券的影响程度。如果某种股票的风险程度与整个市场的风险程度一致，那么这种股票的 ；如果某种股票的 大于1或小于1，则说明该股票的风险程度高于或低于整个市场水平。,回本章目录,2.单指数模型的特征（续） 证券组合方差： 假定投资者将资金等比例地投在证券组合中的每种证券上,证券组合的方差 ： 上式中 趋于零, 是可分散掉的风险，称为非系统风险 ； 与 相关联的风险，不会随证券组合增大而消减 ，通常称作系统风险。,回本章目录,（二）系数的估计和应用,由方程式 ，利用一组反映个别证券收益率和市场指数收益率的历史数据，根据最小二乘法即可求出值。 令： ， ,回本章目录,（三）系数的调整 第一种方法是布鲁姆提出的办法，那就是通过直接测定这种趋向于1的调整来修正过去的系数，并假定一个时期的调整值是下一时期调整的确切估计。可用下式表示： 第二种方法贝叶斯估计方法：根据系数的不同样本误差，对不同股票的系数作不同的调整。样本误差越大，调整也就越大。其预测公式为：,回本章目录,（三）系数的调整 (续) 第三种方法是在测算过程中考虑一系列的影响因素。假设公司规模是影响公司经营的一个重要因素，定义为S，则除了估计 和 的相关关系，可以得到如下的等式： 除了公司规模外，公司利润收入的稳定性、财务杠杆的作用、公司资产的流动性都不同程度地影响系数的估计值，上述的等式也随之增加相应的变量，等式可写成：,回本章目录,二、多指数模型,多指数，即影响证券价格的共同因素，除了单指数模型中的市场股票指数的变化外，还包括： （1）通货膨胀率的变化； （2）失业率的变化； （3）工业生产增长； （4）贸易赤字的变动； （5）政府预算开支的变动； （6）利率水平的变化； （7）长期和短期贷款利率的变化； （8）汇率的变化。,回本章目录,（一）一般多指数模型,一般多指数模型的形式为： 在多指数模型中，要求各指数I1,I2，Ij之间不存在相关关系。由于各个指数之间经常存在多重共线性现象，因此需要将这j个指数正交化，剔除相关性后使模型中的各指数不相关，这时，才能利用多指数模型进行证券分析。,回本章目录,该模型假设剩余收益率 的均值 ；其方差 ；指数收益率的方差 ；指数 与指数 之间的协方差 ；剩余收益率与各指数之间的协方差 ；两种证券收益率之间的协方差 ，这个假设表明证券一致变动的唯一原因，是它们与模型设定的各指数共同变动，除了这些指数，不再有其他因素能够解释任何两种证券之间的一致变动。,（一）一般多指数模型（续）,回本章目录,根据上述假设，我们可导出证券i的预期收益率、证券i收益率的方差和证券i与证券j之间的协方差R。 （1）证券i的预期收益率。 （2）证券i收益率的方差。 （3）证券i和j之间的协方差。,回本章目录,（一）一般多指数模型（续）,（一）一般多指数模型（续） 由此可知，利用多指数模型进行证券分析，假设有一个有N种证券和j种指数（因素）的证券组合，则需要输入： （1）N个与各指数无关的独立收益率预期值 ； （2）jN个证券收益率对指数的敏感度 ； （3）N个剩余收益率 和方差 ； （4）j个指数收益率 ； （5）j个指数收益率的方差 。 因此，对这样的多指数模型进行证券组合分析，需要输入2N+2j+jN个数据，这个量虽然比单指数模型要多，但显然比没有模型时的原始的方法要少得多。,回本章目录,（二）多指数模型的应用,多指数模型从统计角度来看，实际上是一个多元线性回归方程。方程等式左边的变量称为因变量或被解释变量，方程等式右边的变量称为自变量或解释变量。我们把等式右边包括两个或两个以上自变量的模型称为多指数模型。,回本章目录,假设影响证券收益率的因素分别为市场股价指数的收益率（ ）和通货膨胀率（I2），则多指数模型可用下式表述： 例子：假设有三种股票A、B、C,三种股票收益率对市场股价指数收益率、通货膨胀率的敏感程度b系数和剩余收益率的方差 如表7.16所示。试求证券组合的方差。 表 7.16 b系数和残差方差,回本章目录,例子（续） 假设市场股价指数收益率的方差 ，通货膨胀率的方差 ，则股票A的方差为： 股票B的方差为： 股票C的方差为： 假设投资者以0.4:0.3:0.3的比例将资金投资于三种股票上，则对市场股价指数收益率的b系数为：,回本章目录,例子（续） 对通货膨胀率的b系数为： 证券组合中剩余收益率的方差为： 所以证券组合的方差为：,回本章目录,（三）若干种特殊模型,1.行业指数模型 行业指数模型是最受人们关注也是运用最为广泛的一种特殊的多指数模型。该模型认为，证券的收益率不但受市场指数的影响，而且受企业所在的行业指标指数的影响。,回本章目录,2.平均相关模型 平均相关模型的基本思想是把以往的历史相关矩阵数据的平均值作为将来相关矩阵数据的预测值。 平均相关模型可分为总均值模型和传统均值模型。总均值模型的基本思想是把过去某个时期所有成对股票相关系数的平均值作为未来时期每对股票相关系数的预测值。 许多学者对美国实际证券市场的研究表明，总均值模型和传统均值模型在有些场合比单指数模型和多指数模型更精确一些。,回本章目录,3.混合模型 混合模型就是把一般多指数模型中的第一个指数看作市场指数，而将其余的指数看作超市场方差的指数。这就是说，混合模型由两个模型混合而成，一个是单指数模型，另一个是为解释超市场方差而构造的模型。 4.基本的多指数模型 这类模型的基本特征是把证券收益率与宏观经济变量联系在一起。最早对这类模型进行研究的学者认为影响证券收益率的因素很多。他们得出这样的结论，即股票的价值等于股票未来现金流量的现值，因此，影响未来现金流量大小和贴现率的变量就会对价格产生影响。同时，对于这些变量的预期已经在价格中加以考虑，所以，只有这些变量的未预期变化会对收益率发生影响。,回本章目录,三、利用模型决定有效边界的方法,利用模型决定有效边界的方法： 利用单指数模型决定有效边界； 利用常值相关模型决定有效边界。 决定有效边界步骤： A.给各个证券确定某一给定指数; B.把证券按其指数值的大小排列; C.求出有效边界指数值; D.将指数值大于有效边界指数值的证券包括在最优证券组合中，把指数值小于有效边界指数值的证券排除在最优证券组合之外。,回本章目录,（一）利用单指数模型决定有效边界,设超额收