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文档简介

1,二重积分 三重积分,2,一、二重积分的计算,1定理1 若函数 在闭矩形域,可积，且,存在，,则累次积分,也存在，且,3,2推论 若函数 在a,b可积，函数,在c,d可积，则乘积函数,在闭矩形域,也可积，且,4,X型与y型区域,定义 设函数 在闭区间,连续；函数 在闭区间,连续，则x型区域,y型区域,5,积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,如图,x型区域,6,y型区域,7,定理2 设有界闭区域R是由两条光滑曲线,以及直线x=a与x=b所围成。,在R可积，且,定积分,存在，,也存在，且,则累次积分,若函数,8,如何利用累次积分求二重积分(以 型为例),化为先对 ，后对 的累次积分.,首先将R投影到轴，得到闭区间 ，,在区间 上任取一点 ，关于 积分，,在R内 的积分限由,然后关于 从,到 积分,到,9,二、二重积分的换元,定理2 若函数 在有界闭区域R连续，,函数组 将,平面上区域 一对一地变换为xy平面上区,域R。且函数组 在,上对 与对 存在连续偏导数，,有,则,10,极坐标变换,面积微元,设曲面S的方程为：,曲面的面积,曲面面积为,第一型曲面积分的特殊情况,11,利用参数方程来计算,曲面面积,12,例1 计算二重积分 其中D是由直线,和双曲线 所围成，,D既是x型区域又是y型区域,13,例2 将二重积分 化为按不同次序,的累次积分，其中R是由上半圆周,抛物线,和直线,所围成,14,截下的有限曲面片的面积.,被柱面,例3 求曲面,例4,所围平面闭区域.,例5 计算由下列曲线围成的面积,15,例6,例7 计算球体 被圆柱面,所截得的那部分立体的体积,其中 是以,所围成,例8,16,二、三重积分,1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分,设积分区域V为,17,如 图，,过点,闭区域V在xoy平面的投影为闭区域D.,18,再计算,得,则,注,相交不多两点情形.,19,z=z2(x,y),I =,P,D,z=z1(x,y),这就化为一个 定积分和一个 二重积分的运算,20,三. 三重积分换元法,定 理,若三元函数 在有界闭体 连续,则三重积分 存在.,设函数组,在 空间有界闭体 有定义.若满足 下列条件:,21,1) 函数,所有的偏导数在 连续;,2),22,则有三重积分的换元公式,3)函数组(1)将 空间中的 一一对,应地变换为 空间中的 .,23,2.柱面坐标变换,设,其中,24,先将在xOy面上的投影域用极坐标不等式,从而,故,再确定的下, 上边界面,表示,25,3球面坐标与 直角坐标的关系为,26,球面坐标系中的体积微元为,再根据再V中r， ，的关系，化为三次积分。,27,例9 计算平面 与,所围成的四面体的体积.,例10,计算三重积分,，,上半椭球体：,其中是,例11 计算三重积分,V：平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域,28,与抛物面,所
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