重积分的概念和性质(17).ppt

第十章 重积分,第一节 二重积分的概念和性质,第二节 二重积分的计算法,第三节 三重积分,第四节 重积分的应用,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,第一节 二重积分的概念和性质,三、二重积分的性质,一、问题的提出,二、二重积分的定义,1 分割,2 近似 (以直代曲),3 求和,y=f (x),.,.,分法越细，越接近精确值,1. 曲边梯形的面积,f (i),.,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1 分割,2 近似 (以直代曲),3 求和,1. 曲边梯形的面积,.,f (i),4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1 分割,2 近似 (以直代曲),3 求和,1. 曲边梯形的面积,.,f (i),S =,.,S,.,问题： 如何计算曲顶柱体的体积？,一、问题的提出,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,问题： 如何计算曲顶柱体的体积？,“分割, 近似, 求和, 取极限”,解决问题的思路: 类似定积分解决问题的思想:,D,S,S : z = f (x,y),分割：任意分割区域 D, 化整为零,2 近似：以平代曲,. 曲顶柱体的体积,i,D,S : z = f (x,y),3 求和：,2 近似：以平代曲, 分割：任意分割区域 D, 化整为零,.,i,. 曲顶柱体的体积,D,S : z = f (x,y),3 求和,4 取极限,令分法无限变细,i,2 近似：以平代曲, 分割：任意分割区域 D, 化整为零,.,V =,. 曲顶柱体的体积,V,.,.,. 曲顶柱体的体积,S : z = f (x,y),3 求和,4 取极限,令分法无限变细,2 近似：以平代曲,分割：任意分割区域 D, 化整为零,V =,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，,所有小块质量之 和近似等于薄片总质量,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“分割, 近似, 求和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二、二重积分的定义,.定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,2.注解:,(1)二重积分的存在性：,若函数,在D上可积.,在有界闭区域,上连续,则,()二重积分几何意义：,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,三、二重积分的性质,性质,当 为常数时，,性质,定积分的性质,性质,.,性质,性质,.,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,如果在 上,性质,特殊地,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,使,因此,性质,解,解,解,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,二重积分