D311函数的图形与曲率.ppt

,3. 11. 1 曲线的渐近线,3. 11. 2 函数图形的描绘,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数图形的描绘,第3章,3 . 11,3. 11. 3 弧微分,3. 11. 4 曲率及其计算公式,3. 11. 5 曲率圆与曲率半径,与平面曲线的曲率,无渐近线 .,当曲线 C 上的点M 沿着该曲线无限地远离坐标原点时，,3. 11. 1 曲 线 的 渐 近 线,定 义 ：,则称直线,例如, 双曲线：,有渐近线：,但抛物线：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,点 M 与某一直线 L 的距离（纵或横坐标差）趋于,L 为曲线C 的渐近线 。,1. 水平与铅（垂）直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例1.,的渐近线。,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求曲线,2. 斜渐近线,有斜渐近线,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,例 2.,的渐近线 。,解:,又,为曲线的一条斜渐近线 。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求曲线,为其两条铅直渐近线；,而,3. 11.2 函数图形的描绘的步骤,设函数,1. 确定作图的区域，,的定义域：,奇偶性、对称性、周期性 、有界性;,2. 计算,并分别求出,及,3. 列表判别增减及上、下凸区间 ,4. 求曲线,5. 确定某些特殊点,等于 0,和它们不可导的点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,并考虑函数,（可疑的极值点与可疑的拐点） ;,的渐近线 ;,即函数,求出极值和拐点 ;,（与纵、横轴的交点） ,描绘函数的图形。,例3. 描绘,的图形.,解: 1) 定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点）,4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 描绘方程,的图形.,解: 1),定义域为,2) 求关键点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 判别曲线形态,(极大),(极小),4) 求渐近线,为铅直渐近线,无定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又因,即,5) 求特殊点,为斜渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6）绘图,(极大),(极小),斜渐近线,铅直渐近线,特殊点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 描绘函数,的图形.,解: 1) 定义域为,图形对称于 y 轴.,2) 求关键点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 判别曲线形态,(极大),(拐点),(极大),(拐点),为水平渐近线,5) 作图,4) 求渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 11. 3 弧 微 分,设函数,内连续可导，,其图形为 AB,其弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在开区间,则弧长微分公式为：,或,若曲线由参数方程表示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,几何意义：,3.11.4 曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为：,对应切线,定义,点 M 处的曲率,注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,转角为,弧段,上的平均曲率,例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .,解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,(1) 若曲线由参数方程,给出, 则,(2) 若曲线方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,处的曲率.,点击图片任意处播放暂停,说明:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且 l R.,其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化 ,因此铁道的,曲率应连续变化 .,例2. 我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且 l R.,处的曲率.,其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,显然,例3. 求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K 最大,最小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求驻点:,设,从而 K 取最大值 .,这说明椭圆在点,处曲率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算驻点处的函数值:,最大.,3. 11. 5 曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点 ,在点,在曲线,把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1) 有公切线;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设曲线方程为,且,求曲线上点M 处的,曲率半径及曲率中心,设点M 处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此可得曲率中心公式,当点 M (x , y) 沿曲线,移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,屈线的参数方程(参数为x).,点击图中任意点动画开始或暂停,例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨,削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?,解: 设椭圆方程为,由例3可知, 椭圆在,处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为,显然, 砂轮半径不超过,时, 才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.,例3 目录 上页 下页 返回 结束,( 仍为摆线 ),例5. 求摆线,的渐屈线方程 .,解:,代入曲率中心公式 ,得,摆线 目录 上页 下页 返回 结束,摆线,半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 ,点击图中任意点动画开始或暂停,其上定点 M,的轨迹即为摆线 .,参数的几何意义,摆线的渐屈线,点击图中任意点动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,水平渐近线 ; 垂直渐近线;,内容小结,1. 曲线渐近线的求法,斜渐近线,按作图步骤进行,2. 函数图形的描绘,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 弧长微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圆,曲率半径,曲率中心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 曲线,(A) 没有渐近线；,(B) 仅有水平渐近线；,(C) 仅有铅直渐近线；,(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,拐点为 ,凸区间是 ,2. 曲线,的凹区间是 ,提示:,及,渐近线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P75 13 (2); P166 2 ; 5,作业,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题