D18闭区间上连续函数的性质.ppt

,第八节,一、最值定理,二、介值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区间上连续函数的性质,第一章,一. 有界性及最值定理,1. 最值的概念,设 f (x) 定义在区间I上, 若存在,使得对任意,有,则称,为 f (x) 在区间 I 上的最小值,大,例如：,在区间,上的最大值为,最小值为,小结 目录 上页 下页 返回 结束,为最小值点.,大,在(0, 1 上的最小值为 f (1)=1,无最大值,在,上的最大值为f (1)=1,无最小值,在,上既无最大值,也无最小值,在,上的最大值和最小值均为c,小结 目录 上页 下页 返回 结束,2.最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,在该区间上一定有最大,(证明略),机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,或在闭区间内有间断,点 ,设f (x)Ca, b，则,(i) f (x)在a, b上为单调函数时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此时，函数 f (x)恰好在 a, b的端点a和b取到最大值和最小值.,y=f (x)a, b, 则,y=f (x)a, b, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时，如图中所示，,定理8.2.,由定理8. 1 可知有,证: 设,上有界 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,二、零点定理与介值定理,定理8.3. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,( 证明略 ),1. 零点:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意：定理只表明的零点的存在性，而没有回答零点的个数 及求法。,证明的思想方法是等分区间法(区间套法)：将区间a, b等分为a, a1和a1, b, 在这两个区间中选择与a, b性质相同的一个，例如，若f (a1)f (b)0, 则选取a1, b, 然后，对a1, b进行等分，并进行选择，又得一个新的小区间. 如此下去，小区间的长度趋于零，并且总保持区间端点值反号，由函数的连续性，这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值就是我们要求的(a, b).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,且,则对 介于f (a) 与f (b)B 之间的任一数 A ,一点,证: 作辅助函数,则,且,使,至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理8.4（介值定理）：,若,则必有,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,则,或,即,或,此时取,或,即可.,综上可知结论成立.,推论1:,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论2:,闭区间上不为常数的连续函数把该区间应为闭区间.,例1. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,则,例2：证明：方程 x = 2 sinx + 1 至少有一个不超过 3 的正根.,证：问题归结为在(0, 3上求方程的根的问题.,而 f (0) = 0 2 sin0 1 = 1 0,f (3)=3 2 sin3 1,设 f (x) = x 2 sinx1 , x0, 3,显然 f (x)C(0, 3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,=2(1sin3),0,1) 如果 f (3)0，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 = 3 就是方程的根.,2) 如果 f (3) 0,则f (0) f (3)0，,由介值定理,至少存在一个(0, 3)，,使得 f (3 )=0.,综上所述，方程在(0, 3上至少有一个根, 即至少有一个不超过 3 的正根.,例3：设 f (x)Ca, b， a x1 x2 xn b , 证明: 至少存在一点x1 , xn ，使得,小结 目录 上页 下页 返回 结束,证： f (x)C(a, b).,有,从而,若m M,由介值定理，至少存在一点x1 , xn ，使,若m = M, f (x1)= f (x2)= f (xn), 则可取xi,综上所述，命题获证.,mf (xi) M.,小结 目录 上页 下页 返回 结束,上连续 , 且恒为正 ,例4. 设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令, 则,使,故由零点定理知 , 存在,即,当,时,取,或, 则有,证明:,小结 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,2. f(x)在a, b上达到最大值与最小值;,3. f(x)在a, b上可取最大与最小值之间的任何值;,1. f(x)在a, b上有界;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,提示: 令,则,易证,作业 P70 1,