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第2章 2-1,微分与导数,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,既容易计算又是较好的近似值,二、微分的定义,1、定义,2、可微与连续的关系,证,定理 函数f(x)在点x可微则f(x)在点x连续,三、导数定义,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,导数的定义,定义 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,如果,存在，,处导数为无穷大,在,处不可导,则称,可导与不可导,如果,不存在，,在,处可导,则称,如果,则称,在,某点的导数与导函数.,开区间(a,b)内每一个确定的值x0都对应着一个确定的f(x0),它们构成了一个新的函数，就是导函数，简称导数。 函数的导数，是对某一区间内任意点而言的，也就是导函数。求函数在一点处的导数，一般是先求f(x),再求 f(x0)=f(x)|x=x,例 求函数f(x)=|sinx|在x=0处的导数,导数与单侧导数的关系,解,单侧导数,四、可微和可导的关系,定理 函数y=f(x)在点x0可微,证,(1) 必要性,(2) 充分性,五、利用定义求导数和微分方法：,步骤:,例1,解,例2,解,例3,解,更一般地,例如,例4,解,例5,解,原式,是否可按下述方法作:,例6. 证明函数,在 x = 0 不可导.,证:,不存在 ,例7. 设,存在, 求极限,解: 原式,例8 在x=0处可导,求常数a,b,c=? 解：在x=0处连续,故,所以，a=0,c=1,因,例9. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,抽象函数的导数 （1）已知f(x)在x0处可导，求下列极限。,(2)设f(x)偶函数，且f (0)存在，证明f (0)=0 证明：因f (0)=,(4). 设f(x)=(xa)(x) ,其中(x) 在x=a处连续, 求f (a).,解: 因为,(5). 设,存在, 且,求,所以,(6)设 f(x)在点x=a处可导，求,.,解：,(7),解,例.
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