《中值定理总结》PPT课件.ppt

第三章 微分中值定理与导数的应用,高等数学,微分中值定理 习题课,f (x)满足条件(2),(3),但不满足条件(1),在(0, 1)内,注意: 罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.,f (x)在-1, 1上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当 x 时,f (x)= 1.,x 时,f (x)= 1.,x=0时,f (0)不存在.,(ii),(iii) y=f (x)=x, x1, 2,f (x)在1, 2上满足条件(1),(2),但不满足条件(3),在(1, 2)内,f (x)=1.,例1 设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3), 不求导数,试判 断方程 f x 有几个实根, 它们分别在何区间?,解: f (x)在1, 2上连续,在(1, 2)上可导,且 f (1)= f (2);,由罗尔定理: 1 , 使 f (1;,同理,2, ,注意到,f (x)=0为二次方程,使 f (2;,它至多有两个实根,故 1, 2是 f (x)=0 的全部实根.,例2. 设 ab0 n1.,证明:,令 f (x)= x n 显然 f (x) 在 b, a上满足拉格朗日定理条件,证明: nbn1(ab) an bn nan1(a b),有 f (a) f (b)=f ( )(ab) (b a),即 an bn = n n1(a b),又 01,所以 bn1 n1 an1,nbn1 (a b)n n 1 (a b) nan1 (a b),即 nbn1(ab) an bn nan1(a b),例3 选择题.选出符合题意的选项.,下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有( ).,不难发现 ，在2,0上不满足连续的条件，因此应排除A.,对于 ，在2,4上连续，在(2,4)内可导；f(2)=36，f(4)=0， ，因此应排除B.,对于f(x)=|x|，在1,1上连续，在(1,1)内不可导，因此应排除.,综合之，本例应单选.,例4 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( ).,A.仅有一条；,B.至少有一条；,C.不一定存在；,D.不存在.,又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在 处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本例应选B.,例5 选择题.函数 在区间1,3上满足拉格朗日中值定理的 =( ).,由拉格朗日定理可知，必定存在,由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(1)=4,而 因此有,可解得 ，因此本例应选D.,例6 试证,对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x.,证 设f(x)=arctan x ,不妨设ab .,由于arctan x在a,b上连续，在(a,b)内可导.,可知必定存在一点 ,使得 由于,因此arctan x在a,b上满足拉格朗日中值定理条件.,由于 ，因此,从而有,例7 问函数 f (x) = x3 3x 在 0, 2 满足拉格朗日定理的条件吗？如果满足请写出其结论.,解 显然 f (x) 在 0, 2 上连续,在(0, 2)内可导,定理条件满足，,且,f (x) = 3x2 3，,所以有以下等式：,这个x 是在开区间 (0, 2)内的.,由于 f (2) = 2，f (0) = 0， f (x) = 3x 2 3，将这些值代入，可解得,因,变为,当 x 趋于 时, 不趋于 , 而是趋于 1.,3.若 f(x) 在(a, b) 上可微, a, b 上连续, 则对于任意, 存在 , 使,容易猜测 .,这实际上是不成立的. 请看下面的例题.,当 时, 必有 . 从等式,例10 设,易见 f 满足拉格朗日中值定理的条件,约去 x, 我们得到,因此对每个 x 0 , 存在 使,