2019高中数学第四章圆与方程章末小结与测评讲义（含解析）新人教A版必修2.docx

第四章 圆与方程 考点1求圆的方程1求圆的方程的常用方法有待定系数法、几何法等，运用待定系数法时，要充分利用题目中提供的三个条件来确定三个独立的参数；使用几何法时，要充分利用圆的有关性质，如垂径定理、“半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形”等2如果已知条件容易求得圆心坐标、半径，则一般选用圆的标准方程，否则选用圆的一般方程典例1过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为()A(x1)2(y1)21或(x5)2(y5)225B(x1)2(y3)22C(x5)2(y5)225D(x1)2(y1)21解析：选A由题意可设圆心为(a，a)，则半径ra，圆的方程为(xa)2(ya)2a2，又点A(1,2)在圆上，(1a)2(2a)2a2，解得a1或a5.所求圆的方程为(x1)2(y1)21或(x5)2(y5)225.对点训练1经过两点P(2,4)、Q(3，1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程解：设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q两点的坐标分别代入，得又令y0，得x2DxF0.由已知，|x1x2|6(其中x1，x2是方程x2DxF0的两根)，D24F36，、联立组成方程组，解得或所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.考点2直线与圆的位置关系判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系典例2已知圆C和y轴相切，圆心在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆C的方程解：设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2.由圆C与y轴相切得|a|r，又圆心在直线x3y0上，a3b0，圆心C(a，b)到直线yx的距离为d，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，2()2r2.联立解方程组可得或故圆C的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.对点训练2直线xy20被圆(x1)2y21截得的线段的长为()A1B.C.D2解析：选C圆心到直线的距离d，弦长l2.3已知直线l经过坐标原点，且与圆x2y24x30相切，切点在第四象限，则直线l的方程为_解析：设切线方程为ykx，代入圆方程中，得(1k2)x24x30.由0，解得k，所以直线l的方程为xy0.答案：xy0考点3圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断)(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长(2)过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20的交点的直线方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.典例3(2016九江高一检测)求与圆x2y22x0外切且与直线xy0相切于点M(3，)的圆的方程解：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，由题知所求圆与圆x2y22x0外切，则r1.又所求圆过点M的切线为直线xy0，故. r. 解由组成的方程组得，a4，b0，r2或a0，b4，r6.故所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.对点训练4两圆x2y2r2，(x3)2(y4)24相切，则正实数r的值为_解析：当两圆外切时，两圆心的距离d5，由题意，得r25，r3；当两圆内切时，由题意知，r25，即r7.答案：3或7（时间120分钟 满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在空间直角坐标系中，点A(3,4,0)与点B(2，1,6)的距离是()A2 B2 C9 D.解析：选D由空间直角坐标系中两点间距离公式得：|AB|.2方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A由题意得114m0，解得m.3(2015北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21 B(x1)2(y1)21 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：选Dr，所求方程为(x1)2(y1)22，选D.4点A(2a，a1)在以点C(0,1)为圆心，半径为的圆上，则a的值为()A1 B0或1C1或 D或1解析：选D由题意，已知圆的方程为x2(y1)25，将点A的坐标代入圆的方程可得a1或a.5过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为()A. B2 C. D2解析：选D直线方程为yx，圆的方程化为x2(y2)222，r2，圆心(0,2)到直线yx的距离为d1，半弦长为，弦长为2.6已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()A B1 C2 D.解析：选C因为点P(2,2)为圆(x1)2y25上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k2，故过点P(2,2)的切线斜率为，所以直线axy10的斜率为2，因此a2.7一条光线从点A(1,1)出发，经x轴反射到C：(x2)2(y3)21上，则光走过的最短路程为()A1 B2 C3 D4解析：选DA(1,1)关于x轴的对称点B(1，1)，圆心C(2,3)，所以光走过的最短路程为|BC|14.8过点M(1,2)的直线l与圆C：(x2)2y29交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为()Ax1 By1Cxy10 Dx2y30解析：选D当CMl，即弦长最短时，ACB最小，klkCM1，kl，l的方程为： x2y30.9圆C1：(x2)2(ym)29与圆C2：(xm)2(y1)24外切，则m的值为()A2 B5C2或5 D不确定解析：选C圆C1：(x2)2(ym)29的圆心为(2，m)，半径长为3，圆C2：(xm)2(y1)24的圆心为(m，1)，半径长为2.依题意有32，即m23m100，解得m2或m5.10过点P(2,4)作圆O：(x2)2(y1)225的切线l，直线m: ax3y0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A4B2C.D.解析：选AP为圆上一点，则有kOPkl1，而kOP，kl，a4，m的直线方程为4x3y0，l的直线方程为4x3y200.l与m的距离为4.11过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30解析：选A设P(3,1)，圆心C(1,0)，切点为A、B，则P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径，四边形PACB的外接圆方程为(x2)22，圆C：(x1)2y21，得2xy30，此即为直线AB的方程12已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.解析：选A由题意知，圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29的圆心分别为C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|PN|PC1|PC2|4，点C1(2，3)关于x轴的对称点为C(2，3)，所以|PC1|PC2|PC|PC2|CC2|5，即|PM|PN|PC1|PC2|454.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为_解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，B1(a，b，c)答案：(a，b，c)14设A为圆(x2)2(y2)21上一动点，则A到直线xy50的最大距离为_解析：圆心到直线的距离d，则A到直线xy50的最大距离为1.答案：115从原点向圆x2y212y270作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为_解析：(数形结合法)如图，圆x2y212y270可化为x2(y6)29，圆心坐标为(0,6)，半径为3.在RtOBC中可得：OCB，ACB，所求劣弧长为2.答案：216由动点P向圆x2y21引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，APB60，则动点P的轨迹方程是_解析：设动点P的坐标为(x，y)，依题意有|PO|2，x2y24，即所求的轨迹方程为x2y24.答案：x2y24三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2016绍兴高一检测)已知圆C的方程是(x1)2(y1)24，直线l的方程为yxm，求当m为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切解：(1)直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m0.(2)直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，d2，m2.即m2时，直线l与圆相切18(本小题满分12分)已知直线l1：xy10，直线l2：4x3y140，直线l3：3x4y100，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程解：设圆心为C(a，a1)，半径为r，则点C到直线l2的距离d1.点C到直线l3的距离d2.由题意，得解得a2，r5，即所求圆的方程是(x2)2(y1)225.19(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，2)，设圆的半径长为r，则C(0，r)，即圆的方程为x2(yr)2r2.将点A的坐标代入上述方程可得r10，所以圆的方程为x2(y10)2100.当水面下降1米后，可设A(x0，3)(x00)，代入x2(y10)2100，解得2x02，即当水面下降1米后，水面宽2米20(本小题满分12分)已知点M(x0，y0)在圆x2y24上运动，N(4,0)，点P(x，y)为线段MN的中点(1)求点P(x，y)的轨迹方程；(2)求点P(x，y)到直线3x4y860的距离的最大值和最小值解：(1)点P(x，y)是MN的中点，故将用x，y表示的x0，y0代入到xy4中得(x2)2y21.此式即为所求轨迹方程(2)由(1)知点P的轨迹是以Q(2,0)为圆心，以1为半径的圆点Q到直线3x4y860的距离d16.故点P到直线3x4y860的距离的最大值为16117，最小值为16115.21(本小题满分12分)已知圆C: x2y22x4y10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件|PM|PO|的点P的轨迹方程解：把圆C的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24，圆心为C(1,2)，半径r2.(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x1，C到l的距离d2r，满足条件当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y3k(x1)，即kxy3k0，则2，解得k.l的方程为y3(x1)，即3x4y150.综上，满足条件的切线l的方程为x1或3x4y150.(2)设P(x，y)，则|PM|2|PC|2|MC|2(x1)2(y2)24，|PO|2x2y2.|PM|PO|，(x1)2(y2)24x2y2，整理，得2x4y10，点P的轨迹方程为2x4y10，22(本小题满分12分)已知圆C: x2y22x4y40，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解：假设存在斜率为1的直线l，满足题意，则OAOB.设直线l的方程是yxb，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，即x1x2y1y20.由消去y得： 2x22(b1)xb24b40，x1x2(b1)，x1x2(b24b4)，y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b2(b24b4)b2bb2(b22b4)把式代入式，得b23b40，解得b1或b4，且b1或b4都使得4(b1)28(b24b4)0成立，故存在直线l满足题意，其方程为yx1或yx4.模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2016临沂高一检测)过点A(3，4)，B(2，m)的直线l的斜率为2，则m的值为()A6B1C2D4解析：选A由题意知kAB2，m6.2(2016温州高一检测)直线y2mxm经过一定点，则该点的坐标为()A(1,2) B(2，1)C(1,2) D(2,1) 解析：选A将直线方程化为y2m(x1)，则当x1时，y2，即直线过定点(1,2)3在空间直角坐标系中，点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于()A. B. C2 D.解析：选B点A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影为B(0,2,3)，|OB|.4过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 Dx2y30解析：选A结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为，直线方程为y2(x1)，即x2y50.5(2015广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交解析：选D由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交6动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()Ax2y232 Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216解析：选B设P(x，y)，则由题意可得： 2，化简整理得x2y216，故选B.7某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A72 B48 C30 D24解析：选C根据三视图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R3，圆锥半径R3，高为4，所以V组合体V半球V圆锥3332430.8(2015浙江高考)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m.()A若l，则 B若，则lmC若l，则 D若，则lm解析：选AA中，由面面垂直的判定，故正确；选项B中，当时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，l时，、可以相交；选项D中，时，l，m也可以异面，故选A.9设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2 B6a2C12a2 D24a2解析：选B由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R，解得Ra，所以球的表面积S4R26a2.10过点P(2,4)作圆(x2)2(y1)225的切线l，直线l1：ax3y2a0与l平行，则l1与l间的距离是()A. B. C. D.解析：选B直线l1的斜率k，l1l，又l过P(2,4)，l的直线方程为y4(x2)，即ax3y2a120.又直线l与圆相切，5，a4，l1与l的距离为d.11过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()Axy20 By10Cxy0 Dx3y40解析：选A圆心O与P点连线的斜率k1，直线OP垂直于xy20，故选A.12(2015新课标全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2 C4 D8解析：选B由正视图和俯视图可知，该几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为4r2r2rr22r2r5r24r21620，解得r2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2016宁波高一检测)若直线l1：axy2a0与l2：xay30互相平行，则实数a_.解析：由两直线平行的条件A1B2A2B10且A1C2A2C10得得a1.答案：114(2015江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析：直线mxy2m10恒过定点(2，1)，当切点为(2，1)时，半径最大为，此时圆的方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y2215(2015湖南高考)若直线3x4y50与圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_.解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线3x4y50的距离为，r2.答案：216将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论ACBD；ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角说法正确的命题序号是_解析：如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，则BDAE，BDCE，而AECEE，BD平面AEC，AC平面AEC，故ACBD，故正确设正方形的边长为a，则AECEa.由知AEC是直二面角ABDC的平面角，AEC90，ACa，ACD是等边三角形，故正确由题意及知，AE平面BCD，故ABE是AB与平面BCD所成的角，而ABE45，所以不正确答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知两条直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.解：(1)因为l1与l2相交于点(m，1)，所以点(m，1)在l1、l2上，将点(m，1)代入l2，得2mm10，解得m1.又因为m1，把(1，1)代入l1，所以n7.故m1，n7.(2)要使l1l2，则有解得或(3)要使l1l2，则有m28m0，得m0.则l1为y，由于l1在y轴上的截距为1，所以1，即n8.故m0，n8.18(本小题满分12分)(2015新课标全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四边形A1EHA(410)856，S四边形EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为.19(本小题12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明：(1)B1C1CB为正方形，E为B1C的中点，又D为AB1中点，DE为B1AC的中位线，DEAC，又DE平面A1C1CA，AC平面A1C1CA，DE平面AA1C1C.(2)在直三棱柱中，平面ACB平面B1C1CB，又平面ACB平面B1C1CBBC，AC平面ABC，且ACBC，AC平面B1C1CB，ACBC1，又B1C1CB为正方形，B1CBC1，ACB1CC，BC1平面ACB1，又AB1平面ACB1，BC1AB1.20(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a0)，B(0，a)，C(4,0)，D(0,4)，设AOB的外接圆圆心为E.(1)若E与直线CD相切，求实数a的值；(2)设点P在E上，使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的E是否存在？若存在求出E的标准方程；若不存在，说明理由解：(1)直线CD的方程为yx4，圆心E，半径ra.由题意得a，解得a4.(2)|CD|4，当PCD面积为12时，点P到直线CD的距离为3.又圆心E到直线CD距离为2(定值)，要使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，需E的半径5，解得a10，此时，E的标准方程为(x5)2(y5)250.21(本小题满分12分)(2015四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF平面BEG.解：(1)点F，G，H的位置如图所示(2)平面BEG平面ACH.证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所