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文档简介
第一章 三角函数学习目标1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出ysin x,ycos x,ytan x的图象.4.理解三角函数ysin x,ycos x,ytan x的性质.5.了解函数yAsin(x)的实际意义,掌握函数yAsin(x)图象的变换.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y叫做的正弦,记作sin ,即sin y;(2)x叫做的余弦,记作cos ,即cos x;(3)叫做的正切,记作tan ,即tan (x0).2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2cos21.(2)商数关系:tan .3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k(kZ)”的诱导公式.当k为偶数时,函数名不改变;当k为奇数时,函数名改变,然后前面加一个把视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R对称性对称轴:xk(kZ);对称中心:(k,0)(kZ)对称轴:xk(kZ);对称中心:(kZ)对称中心:(kZ),无对称轴奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期:2最小正周期:2最小正周期:单调性在 (kZ)上单调递增;在 (kZ)上单调递减在2k,2k(kZ)上单调递增;在2k,2k(kZ)上单调递减在开区间(k,k)(kZ)上递增最值在x2k(kZ)时,ymax1;在x2k(kZ)时,ymin1在x2k(kZ)时,ymax1;在x2k(kZ)时,ymin1无最值类型一三角函数的概念例1已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角终边上一点,且sin ,则y .答案8解析r,且sin ,所以sin ,所以为第四象限角,解得y8.反思与感悟(1)已知角的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.在的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r0).则sin ,cos .已知的终边求的三角函数值时,用这几个公式更方便.(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1已知角的终边在直线3x4y0上,求sin ,cos ,tan 的值.解角的终边在直线3x4y0上,在角的终边上任取一点P(4t,3t)(t0),则x4t,y3t.r5|t|.当t0时,r5t,sin ,cos ,tan ;当t0时,r5t,sin ,cos ,tan .综上可知,sin ,cos ,tan 或sin ,cos ,tan .类型二同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根为sin ,cos ,(0,2).求:(1);(2)m的值;(3)方程的两根及此时的值.解由根与系数的关系,得sin cos ,sin cos .(1)原式sin cos .(2)由sin cos ,两边平方可得12sin cos ,121,m.(3)由m可解方程2x2(1)x0,得两根和. 或 (0,2),或.反思与感悟(1)牢记两个基本关系式sin2cos21及tan ,并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中,要注意掌握解题的技巧.比如:已知sin cos 的值,可求cos sin .注意应用(cos sin )212sin cos .(2)诱导公式可概括为k(kZ)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.跟踪训练2已知f().(1)化简f();(2)若f(),且,求cos sin 的值;(3)若,求f()的值.解(1)f()sin cos .(2)由f()sin cos 可知,(cos sin )2cos22sin cos sin212sin cos 12.又,cos sin ,即cos sin 0,求a,b的值.解令tsin x,则g(t)t2atb12b1,且t1,1.根据对称轴t0与区间1,1的位置关系进行分类讨论.当1,即a2时,解得当10,即0af(),则f(x)的单调递增区间是 .答案(kZ)解析由题意可知,当x时,f(x)取最值.fsin1,k(kZ),k(kZ).又ff(),sin()sin(2),即sin sin ,sin 0)的图象向左平移个单位得到函数yg(x)的图象.若yg(x)在,上为增函数,则的最大值为 .答案215.已知函数f(x)cos,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.解(1)因为f(x)cos,xR,所以函数f(x)的最小正周期为T.由2k2x2k(kZ),得k
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