2018版高中数学第三章三角恒等变换1.doc

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.知识点一两角和的余弦公式思考如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案用代换cos()cos cos sin sin 中的便可得到.梳理公式cos()cos cos sin sin 简记符号C()使用条件，都是任意角记忆口决：“余余正正，符号相反”.知识点二两角和与差的正弦公式思考1如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案sin()coscoscoscos sinsin sin cos cos sin .思考2怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？答案 用代换，即可得sin()sin cos cos sin .梳理内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S()S()公式形式sin()sin cos cos sin sin ()sin cos cos sin 记忆口诀：“正余余正，符号相同”.类型一给角求值例1(1)化简求值：sin(x27)cos(18x)sin(63x)sin(x18).解(1)原式sin(x27)cos(18x)cos(x27)sin(x18)sin(x27)cos(18x)cos(x27)sin(18x)sin(x27)(18x)sin 45.(2) .答案解析原式sin 30.反思与感悟(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.跟踪训练1计算：(1)sin 14cos 16sin 76cos 74；(2)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x).解(1)原式sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 30.(2)原式sin(54x)(36x)sin 901.类型二给值求值例2已知sin，cos，且0，求cos().解0，0.又sin，cos，cos，sin.cos()sinsinsincoscossin.反思与感悟(1)给值(式)求值的策略当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.跟踪训练2已知，cos()，sin()，求cos 2与cos 2的值.解，0，.sin() ，cos() .cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin().类型三辅助角公式命题角度1用辅助角公式化简例3将下列各式写成Asin(x)的形式：(1)sin xcos x；(2)sin(x)cos(x).解(1)sin xcos x2(sin xcos x)2(cos sin xsin cos x)2sin(x).(2)原式sin(x)cos(x)sin sin(x)cos cos(x)cos(x)cos(x)sin(x).反思与感悟一般地对于asin bcos 形式的代数式，可以提取，化为Asin(x)的形式，公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.跟踪训练3sin cos .答案解析原式2.方法一原式222sin2sin.方法二原式222cos2cos .命题角度2求函数值域(最值)例4已知函数f(x)2sin2cos x，x，求函数f(x)的值域.解f(x)2sin2cos xsin xcos x2sin，因为x，所以x.所以sin1.所以函数f(x)的值域为1，2.反思与感悟(1)用辅助角公式化成一角一函数，即asin xbcos xsin(x)的形式.(2)根据三角函数的单调性求其值域.跟踪训练4(1)当函数ysin xcos x(0x2)取得最大值时，x ；(2)函数f(x)sin xcos的值域为 .答案(1)(2)，解析(1)y2sin(x)，0x2，x，当x，即x时，ymax2.(2)f(x)sin xcos xsin xsin xcos xsin(x)，f(x)，.1.计算cos sin 的值是()A. B.2 C.2 D.答案B解析cos sin 2(cos sin )22sin2sin 2.2.在ABC中，已知cos A，sin B，则cos C等于()A. B.C.或 D.或答案B解析cos Acos 60，60A90，sin B120，AB180，矛盾，B为锐角，且A为锐角，sin A，cos B.cos Ccos(AB)cos(AB)，cos Ccos(AB)(cos Acos Bsin Asin B).3.sin 20cos 10cos 160sin 10等于()A. B. C. D.答案D解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.4.已知锐角、满足sin ，cos ，则 .答案解析，为锐角，sin ，cos ，cos ，sin .cos()cos cos sin sin .又0，.5.化简：sincoscossin.解原式sincossincossinsinsin cos cos sin .1.公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C()C()S()S().(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C()，C()可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S()，S()可记为“异名相乘，符号同”.(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C()，C()，S()，且公式sin()sin cos cos sin ，角，的“地位”不同也要特别注意.2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1sin2cos2，1sin 90，cos 60，sin 60等，再如：0，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.课时作业一、选择题1.已知，sin，则sin 等于()A. B.C.或 D.答案B解析由，得，所以cos .所以sin sin sincos cossin ，故选B.2.sin 10cos 20sin 80sin 20等于()A. B.C. D.答案C解析sin 10cos 20sin 80sin 20sin 10cos 20cos 10sin 20sin(1020)sin 30，故选C.3.在ABC中，A，cos B，则sin C等于()A. B.C. D.答案A解析sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B(cos B).4.已知0，又sin ，cos()，则sin 等于()A.0 B.0或C. D.0或答案C解析0，sin ，cos()，cos ，sin()或.sin sin()sin()cos cos()sin 或0.，sin .5.在ABC中，若sin A2sin Bcos C，则ABC是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形答案D解析A180(BC)，sin Asin(BC)2sin Bcos C.又sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，sin Bcos Ccos Bsin Csin(BC)0，则BC，故ABC为等腰三角形.6.已知cossin ，则sin的值为()A. B.C. D.答案C解析cossin ，cos cos sin sin sin ，cos sin ，即cos sin ，sin.sinsin.二、填空题7.sin 15sin 75的值是 .答案解析sin 15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos 30.8.已知cos()sin()，则tan .答案19. .答案1解析原式tan 451.10.已知A(3，0)，B(0，3)，C(cos ，sin )，若1，则sin() .答案解析(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，(cos 3)cos sin (sin 3)cos23cos sin23sin 13(sin cos )13(sin cos )13sin()1，sin().三、解答题11.已知sin ，sin()，均为锐角，求的值.解为锐角，sin ，cos .0，所以0.所以sin ，cos()，cos(2)cos()cos cos()sin sin().(2)cos cos()cos cos()sin sin().又因为(0，)，所以.四、探究与拓展14.定义运算adbc.若cos ，0，则 .答案解析