2019届高考数学大一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法学案理北师大版.doc

7.2一元二次不等式及其解法最新考纲考情考向分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2x|xR一元二次不等式ax2bxc0)的解集x|x1 x0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(0(0)(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图像开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()题组二教材改编2已知全集UR，集合Ax|x2x60，B，那么集合A(UB)等于()A2,4) B(1,3 C2，1 D1,3答案D解析因为Ax|2x3，Bx|x1或x4，故UBx|1x0，令3x22x20，得x1，x2，3x22x20的解集为.题组三易错自纠4不等式x23x40的解集为_(用区间表示)答案(4,1)解析由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x0的解集是，则ab_.答案14解析x1，x2是方程ax2bx20的两个根，解得ab14.6已知关于x的不等式(a24)x2(a2)x10的解集为空集，则实数a的取值范围为_答案解析当a240时，a2.若a2，不等式可化为10，显然无解，满足题意；若a2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当a2时，要使不等式的解集为空集，则解得2a.综上，实数a的取值范围为.题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式典例 求不等式2x2x30的解集解化2x2x30，解方程2x2x30，得x11，x2，不等式2x2x30的解集为(，1)，即原不等式的解集为(，1).命题点2含参不等式典例 解关于x的不等式ax222xax(aR)解原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.当a1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为.思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集跟踪训练 解下列不等式：(1)0x2x24；(2)12x2axa2(aR)解(1)原不等式等价于则可得借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3(2)12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，得x1，x2.当a0时，解集为；当a0时，x20，解集为x|xR且x0；当a0时，解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题典例 (1)若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0 B3,0) C3,0 D(3,0)答案D解析2kx2kx0为一元二次不等式，k0，又2kx2kx0对一切实数x都成立，则必有解得3k0，则a的取值范围是()A(0,4) B0,4)C(0，) D(，4)答案B解析对于任意xR，ax2ax10，则必有或a0，0a4.命题点2在给定区间上的恒成立问题典例 设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以m的取值范围是.命题点3给定参数范围的恒成立问题典例 对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意，知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x3.故当x的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数跟踪训练 函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围解(1)当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，实数a的取值范围是6,2(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当g(x)的图像恒在x轴上方且满足条件时，有a24(3a)0，即6a2.如图，g(x)的图像与x轴有交点，但当x2，)时，g(x)0，即即可得解得a.如图，g(x)的图像与x轴有交点，但当x(，2时，g(x)0.即即可得7a6，综上，实数a的取值范围是7,2(3)令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立只需即解得x3或x3.实数x的取值范围是(，33，)题型三一元二次不等式的应用典例 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100元(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润解(1)根据题意，得2003 000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3,10(2)设利润为y元，则y10091049104，故当x6时，ymax457 500元即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果跟踪训练 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解(1)由题意，得y100100.因为售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x0,2(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130，解得x.所以x的取值范围是.转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题解析(1)由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)c，2c，即x0恒成立，即x22xa0恒成立即当x1时，a(x22x)恒成立令g(x)(x22x)，则g(x)(x22x)(x1)21在1，)上是减少的，g(x)maxg(1)3，故a3.实数a的取值范围是a|a3答案(1)9(2)a|a31不等式(x1)(2x)0的解集为()Ax|1x2 Bx|x1或x2Cx|1x2 Dx|x2答案A解析由(x1)(2x)0可知，(x2)(x1)0，所以不等式的解集为x|1x22(2018河北省三市联考)若集合Ax|32xx20，集合Bx|2x0时，x2x2，0x1.由得原不等式的解集为x|1x1方法二作出函数yf(x)和函数yx2的图像，如图所示，由图知f(x)x2的解集为1,14若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是()Aa|0a4 Ba|0a4Ca|0a4 Da|0a4答案D解析由题意知，当a0时，满足条件当a0时，由得0320，即x228x1920，解得12x16，所以每件售价应定为12元到16元之间6若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是()A4,1 B4,3 C1,3 D1,3答案B解析原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3，综上可得4a3.7若不等式2x22axa1有唯一解，则a的值为_答案解析若不等式2x22axa1有唯一解，则x22axa1有两个相等的实根，所以4a24(a1)0，解得a.8若0a0的解集是_答案解析原不等式即(xa)0，由0a1，得a，ax.不等式的解集为.9(2018济南模拟)若不等式mx22mx42x24x对任意x都成立，则实数m的取值范围是_答案(2,2解析原不等式等价于，(m2)x22(m2)x40，当m20，即m2时，对任意x，不等式都成立；当m20，即m2时，4(m2)216(m2)0，解得2m2.综合，得m(2,210(2018湛江调研)已知函数f(x)ax2bxc(a0)，若不等式f(x)0(e是自然对数的底数)的解集是_答案x|ln 2xln 3解析依题意可得f(x)a(x3)(a0)，则f(ex)a(ex3)(a0，可得ex3，解得ln 2xln 3.11设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0的解集；(2)若a0，且0xmn0，即a(x1)(x2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2；当a0的解集为x|1x0，且0xmn，xm0.f(x)m0，即f(x)m.12已知不等式(ab)x2a3b0的解集解因为(ab)x2a3b0，所以(ab)x3b2a，因为不等式的解集为，所以ab0，且，解得a3b0，等价于bx2(4b2)x3b20，即x2x30，即(x1)0.因为30在区间1,5上有解，则实数a的取值范围是_答案解析方法一x2ax20在x1,5上有解，令f(x)x2ax2，f(0)20，即255a20，解得a.方法二由x2ax20在x1,5上有解，可得ax在x1,5上有解又f(x)x在x1,5上是减函数，min，只需a.14不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为_答案8,4解析因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0对于任意的a，bR恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由一元二次不等式的性质可知，2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.15(2018郑州质检)已知函数f(x) 若关于x的不等式f(x)2af(x)b20恰有1个整数解，则实数a的最大值是()A2 B3C5 D8答案D解析作出函数f(x)的图像如图实线部分所示，由