2017-2018学年高中数学第三章变化率与导数3计算导数学案北师大版.docx

3 计算导数 对于函数yx22x.问题1：如何求f(1)?提示：f(1) .问题2：如何求f(x)?提示：f(x) .问题3：f(x)与f(1)有什么关系？提示：f(1)可以认为把x1代入导函数f(x)得到的值1导函数若一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x) 则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，简称为导数2导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数yc (c是常数)y0ysin xycos_xyx(为实数)yx1ycos xysin_xyax (a0，a1)yaxln_a，特别地(ex)exytan xyyloga x (a0，a1)y，特别地(ln x)ycot xy1导数公式表中(ax)axln a与(logax)较易混淆，要区分公式的结构特征，找出它们之间的差异去记忆2f(x)与f(x0)既有区别，又有联系，f(x)是导函数，f(x0)是当xx0时导函数f(x)的一个函数值，是一个确定的值 利用导函数的定义求导数例1一运动物体的位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系式为s(t)t2t.求s(0)，s(2)，s(5)，并说明它们的意义思路点拨先求出s(t)的导函数，然后分别把t0,2,5代入即可精解详析由题意ss(tt)s(t)(tt)2(tt)(t2t)(t)22ttt.t2t1.当t趋于0时，可以得出导函数为s(t) (t2t1)2t1.因此，s(0)2011，它表示物体的初速度为1 m/s；s(2)2215，它表示物体在第2 s时的瞬时速度为5 m/s；s(5)25111，它表示物体在第5 s时的瞬时速度为11 m/s.一点通利用定义求函数yf(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数yf(x)在其对应区间上每一点都有导数；(2)计算yf(xx)f(x)；(3)当x趋于0时，得到导函数f(x) .1已知函数f(x)x2x，则f(x)()A1B2C2x D2x1解析：f(x) (2xx1)2x1.答案：D2求函数f(x)2x24x的导数，并利用导函数f(x)求f(3)的值解：f(x) (4x2x4)4x4，f(3)43416.利用导数公式求导数例2求下列函数的导数(1)yx；(2)ylog3x；(3)y；(4)y5x.思路点拨先对函数式进行必要的化简，再选择导数公式进行求解精解详析(1)yxx，y(x)x.(2)y(log3x).(3)ytan x，y(tan x).(4)y(5x)5xln 5.一点通求简单函数的导函数有两种基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导3若f(x)，则f(1)()A0BC3 D.解析：f(x)(x)x，f(1).答案：D4给出下列结论：(cos x)sin x；cos；若y，则y； .其中，正确的命题序号是_解析：因为(cos x)sin x，所以错误；sin，而0，所以错误；(x2)2x3，所以错误；(x)x，故正确答案：导数的应用例3(1)若直线l过点A(0，1)且与曲线yx3切于点B，求B点坐标(2)若直线l与曲线yx3在第一象限相切于某点，切线的斜率为3，求直线l与坐标轴围成的三角形面积思路点拨(1)可设出切点为(x0，x)，由导数的几何意义及斜率公式建立关于x0的方程求解(2)先求切线的方程，从而求出切线与x，y轴的交点坐标，再求三角形的面积精解详析(1)y3x2，设B(x0，x)(x00)，则切线斜率k3x.又直线l过点(0，1)，k.3x，2x1，x0，x，B.(2)设切点为(x0，x)(x00)，则该切线斜率为3x.3x3，x01，则切点为(1,1)直线l的方程为：y13(x1)直线l与坐标轴交点分别为(0，2)，直线l与坐标轴围成的三角形面积S.一点通利用导数公式可快速求出函数在某点处的导数，即为该点处切线的斜率在求切线的方程时，要注意点(x0，y0)处的切线与过(x0，y0)的切线的区别：前者(x0，y0)为切点，后者(x0，y0)不一定是切点5设曲线f(x)xn1(nN)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlg xn，则a1a2a99_.解析：由于f(1)n1，曲线在点(1,1)处的切线为y1(n1)(x1)，令y0，得xxn，anlg ，原式lglglg lglg 2.答案：26求曲线y过点(3,2)的切线方程解：点(3,2)不在曲线y上，设过(3,2)与曲线y相切的直线与曲线的切点坐标为(x0，y0)，则y0.y，y(x)x1.根据导数的几何意义，曲线在点(x0，y0)处的切线斜率k.切线过点(3,2)，整理得()2430，解得x01，x09，切点坐标为(1,1)或(9,3)当切点坐标为(1,1)时，切线斜率k，切线方程为y2(x3)，即x2y10.当切点坐标为(9,3)时，切线斜率k，切线方程为y2(x3)，即x6y90.综上可知，曲线y过点(3,2)的切线方程为：x2y10或x6y90.1熟记导数公式表，必要时先化简再求导2计算f(x0)时，可先求f(x)，再将xx0代入3直线与曲线相切时，切点是直线与曲线的公共点，切线的斜率是曲线对应的函数在切点处的导数 1若f(x)log3x，则f(3)等于()A.Bln 3C. D.解析：f(x)，f(3).答案：C2曲线f(x)ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A1 B2Ce D.解析：f(x)ex，f(x)ex，f(0)1.即曲线f(x)ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.答案：A3给出下列结论：若y，则y；若y，则y；若f(x)sin ，则f(x)cos ；若f(x)3x，则f(1)3.其中，正确的个数是()A1个 B2个C3个 D4个解析：对于y，yxx，故错；对于f(x)sin ，为常数函数，f(x)0，故错；都正确答案：B4已知f(x)logax(a1)的导函数是f(x)，记Af(2)，Bf(3)f(2)，Cf(3)，则()AABC BACBCBAC DCBA解析：记M(2，f(2)，N(3，f(3)，则由于Bf(3)f(2)表示直线MN的斜率，Af(2)表示函数f(x)loga x在点M处的切线的斜率，Cf(3)表示函数f(x)loga x在点N处的切线的斜率由f(x)的图像易得ABC.答案：A5设直线yxb是曲线f(x)ln x(x0)的一条切线，则实数b的值为_解析：f(x)(ln x)，设切点坐标为(x0，y0)，由题意得，则x02，y0ln 2，代入切线方程yxb，得bln 21.答案：ln 216f(x)cot x，则f_.解析：f(x)，f2.答案：27求下列函数的导数(1)y2；(2)y；(3)y10x；(4)ylogx；(5)y2cos21.解：(1)c0，y20.(2)(xn)nxn1，y()(x)xx .(3)(ax)axln a，y(10x)10xln 10.(4)(logax)，y(logx).(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.8若曲线f(x)x在点(a，