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用列表法解应用题 初中一年级学生刚刚进入少年期，机械记忆力较强，分析能力仍然较差。初学列方程解应用题时主要存在三个方面的困难：（1）抓不住相等关系。（2）找出相等关系后不会列方程。（3）习惯于算术解法。鉴此，要提高初一年级数学应用题教学效果，务必要提高学生的分析能力。这是每一个初一数学老师值得认真探索的问题。 下面通过举例，重点说明用列表法解几类应用题。一、 解题思路1、 在仔细审题的过程中，边阅读边将复杂背景中的已知量、未知量（可用字母代替）分类列成表格；2、 利用表格的横向、纵向联系便很容易把握各量之间的关系，准确地得到方程、方程组，不等式、不等式组。二、 应用举例1 行程问题例1、甲、乙两人从相距为195千米的A,B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。已知甲的速度为15千米/时，乙的速度为45千米/时。如果甲先行1时后乙才出发，问甲再行多少时间与乙相遇？分析：这是一道行程问题中的相遇问题。有甲、乙两人，故分两行，每个人又都要求所走的路程，故分3列。设甲再行x小时与乙相遇，列表如下： 先行1时的路程（千米）后行的路程（千米）各走的总路程（千米）甲1515x15+15x乙45x45x相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲、乙相距的路程列方程：15+15x+45x=195，解得： x=3. 答：甲再行3时与乙相遇。例2、 甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时、同向出发，甲在前，乙在后。甲骑自行车的速度为15千米/时，乙骑摩托车的速度为45千米/时。问：几小时后，他们相遇？分析：这是一道行程问题中的追及问题。追及问题中的等量关系是：“追者”的路程-“逃者”的路程=两者相距的路程。有甲、乙两人，故分两行，每个人又都要考察所走的路程、时间、速度，故分3列。设x小时后，他们相遇。列表如下：速度（千米/时）时间（小时）所走的路程（千米）甲15x15x乙45x45x此题的相等关系：乙行进的路程-甲行进的路程=30千米列方程： 45x-15x=30，解得： x=1.答：1小时后，他们相遇。例3、 甲、乙两地相距168千米，一辆小汽车以60千米/时的速度从甲地开往乙地，2小时后，一辆拖拉机以48千米/时的速度也由甲地向乙地驶去，如果小汽车到达乙地后立即返回甲地，问小汽车开出多少小时后与拖拉机相遇？分析：考察对象为交通工具，为小汽车、拖拉机，故分成两行，每一对象又都要考察其速度、时间、路程，故分成3列。设小汽车开出x小时后与拖拉机相遇，列表如下：速度（千米/时）时间（小时）路程（千米）小汽车60x60x拖拉机48x-248（x-2）相等关系：小汽车行使路程+拖拉机行使路程=1682.列方程：60x+48（x-2）=1682 解得 x=4. 答：小汽车开出4小时后与拖拉机相遇。2 工程问题例1、 某村承担水利工地的部分运土任务，参加运土的人中，有的一人挑两筐，有的两人抬一筐，现仓库有108只箩筐和57条扁担，村里需要安排多少人去工地，才能使现有的箩筐和扁担都派上用处？分析：运土的方式分挑和抬，故分两行，每种运土方式又都要考察扁担数、箩筐数和人数，故分3列。设挑土的扁担数为x，列表如下：扁担数（条）箩筐数（只）人数（人）挑土x2xx抬土57-x57-x2(57-x)相等关系：挑的箩筐数+抬的箩筐数=108列方程：2x+（57-x）=108，解得 x=51. 去工地的人数是： 51+2（57-51）=63（人） 答：村里需要安排63人去工地，才能使现有的箩筐和扁担都派上用处。例2、 父子二人在同一工厂工作，两人要生产一批数量相同的零件。父亲生产这批零件要用30分钟，儿子生产这批零件只用20分钟，父亲比儿子早做5分钟，问过多少时间儿子能追上父亲？分析：此即工程问题中的追及，考察对象为父亲和儿子，故分成两行，每一对象又都涉及工作效率（把这批零件看作1）、工作时间、工作量，故分成3列。设儿子追上父亲需要x分钟，列表如下：工作效率工作时间工作量父亲x+5儿子x相等关系：父亲做的零件=儿子做的零件。列方程：=，解得 x=10. 答：过10分钟后儿子能追上父亲。例3、某村承担某段水渠复修任务，第一天甲村民组派了15人，乙村民组派了18人，分别负责挖土和运土。为了提高劳动效率，第二天对劳力进行了合理调配，使运土的人数等于挖土的人数的2倍。问：需要从甲村民组中抽调多少人到乙村民组？分析：水渠的复修任务有挖土和运土，故分两行，每种任务又都要考察两天的人数、抽调人数，故分3列。设需要从甲村民组中抽调x人到乙村民组。列表如下：抽调人数原有人数现有人数甲组（挖土）x1515-x乙组（运土）1818+x相等关系：调配后的运土人数=2调配后的挖土人数，列方程： 18+x=2（15-x）， 解得 x=4.答：需要从甲村民组中抽调4人到乙村民组。3 浓度问题例1、 现有质量分数为15的盐水60克，要配制成质量分数为25的盐水，需要加盐多少克？分析：这是一道浓度问题的应用题。这类问题的基本关系式是：溶液质量=溶质质量+溶剂质量，质量分数=100.考察对象为加盐前后的盐水，故分成两行，每一对象又都涉及含盐量、含水量和盐水的质量，故分成3列。设需要加盐x克。列表如下：含盐量（克）含水量（克）盐水的质量（克）加盐前1560（1-15）6060加盐后25（60+x）（1-25）（60+x）60+x相等关系：加盐前的含水量=加盐后的含水量，列方程： （1-15）60=（1-25）（60+x）， 解得 x=8. 答：需要加盐8克。例2、 现有质量分数为15的酒精溶液60克，要配制成质量分数为10的酒精溶液，需要加水多少克？分析：考察对象为加水前后的酒精溶液，故分成两行，每一对象又都涉及含纯酒精量、含水量和酒精溶液的质量，故分成3列。设需要加水x克。列表如下：含纯酒精量（克）含水量（克）酒精溶液的质量（克）加水前1560（1-15）6060加水后10（60+x）（1-10）（60+x）60+x相等关系：加水前含酒精的质量=加水后含酒精的质量，列方程： 1560=10（60+x）， 解得 x=30. 答：需要加水30克。例3、 现有质量分数为20和12的两种硫酸溶液，要配制成质量分数为15的硫酸溶液80克，这两种硫酸溶液应各取多少克？分析：考察对象为配制前后的两种硫酸溶液，故分成两行，每一对象又都涉及纯硫酸质量、溶剂质量和硫酸溶液质量，故分成3列。设需要质量分数为20的硫酸溶液x克和12的硫酸溶液y克。列表如下：纯硫酸质量（克）溶剂质量（克）硫酸溶液质量（克）配制前20x（1-20）xx12y（1-12）yy配制后1580（1-15）8080相等关系：配制前含纯硫酸的质量=配制后含纯硫酸的质量，（或者是配制前含溶剂的质量=配制后含溶剂的质量）质量分数为20的硫酸溶液+质量分数为12的硫酸溶液=质量分数为15的硫酸溶液列方程组： 20x +12y =1580，x+y=80. x=30，解得 y=50. 答：需要质量分数为20的硫酸溶液30克和12的硫酸溶液50克。4 与经济有关的应用题 随着市场经济日益繁荣，与经营、经济有关的数学问题不断在生活中出现，因此就相关的经济问题简析如下：例1、商店将超级VCD按进价提高35后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”广告，结果每台超级VCD仍获利208元，那么每台超级VCD的进价是多少元？分析：考察对象是超级VCD，故分成一行，要考察它的进价、标价、折扣和出售价，故分成四列。设每台超级VCD的进价是x元，列表如下：商品进价（元）标价（元）折扣出售价（元）超级VCDx（1+35）x九折（1+35）90x相等关系：出售价-进价-出租车费=利润.列方程： （1+35）90x x-50=208，解得 x=1200.答：每台超级VCD的进价是1200元。例2、 某商场将某种商品按标价的8折出售，此时商品的利润率是10，若此商品的进价为1600元，则商品的标价是多少？分析：考察对象是某种商品，故分成一行，要考察它的进价、标价、折扣、利润率和出售价，故分成五列。设此商品的标价是x元，列表如下：标价（元）折扣出售价（元）进价（元）利润率某种商品x8折80x160010 商品利润=商品售价-商品进价=商品标价折扣-商品进价，又 商品的利润=商品进价商品利润率， 相等关系：商品标价折扣-商品进价=商品进价利润率。列方程：80x-1600=160010, 解得： x=2200.答：此商品的标价为2200元。例3、 某商品的进价是1000元，标价为1500元，商店要求以利润率不低于5的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？分析：考察对象是某商品，故分成一行，要考察它的进价、标价、出售价和利润率，故分成四列。设售货员最低可以打x折出售此商品，列表如下：进价（元）标价（元）利润率出售价（元）某商品10001500不低于51500相等关系：商品出售价-商品进价=商品进价利润率，列方程： 1500-1000=10005,解得： x=7.答：售货员最低可以打七折出售此商品。（备注：打一折即按原价的或10出售。）例4、 国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息20，银行一年定期储蓄的年利率为1.98。今小刚取出一年到期的本金及利息时，交了3.96元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为多少元？分析：考察对象是存款问题，故分成一行，要考察存款问题中的本金、利率、利息、期数和利息税，故分成四列。设小刚一年前存入银行的钱为x 元，其中，利息=本金利率期数； 本息和=本金+利息。列表如下：本金（元）利率期数利息（元）利息税（元）x1.98一年x1.981x1.9820相等关系：利息税=利息20列方程： x1.9820=3.96，解得 x=1000. 答：小刚一年前存入银行的钱为1000元。例5、 张大妈参加了2003年4月18日经中国保险监督管理委员会批准的人保理财金牛投资保障型（3年期）家庭财产保险，她一次投资2000元，投保3年，每年须交保险费12元。期满后，保险公司从收益金中扣除每年须交的保险费后，连同保险投入资金，张大妈一共能领到2096元，试问：（1）张大妈投保3年期的收益率是多少？（收益金=投入资金年收益率保险年数）1. 若张大妈把2000元存入银行存期3年， 仅从现金的角度考虑（不考虑财产损失后是否有赔），请你为张大妈算一算，上述两种投资，哪一种更合算？（利息=本金年利率存期，3年期年利率为2.52，利息税是20）分析：考察对象是投保问题，故分成二行，要考察投保问题中的投入资金、年收益率、保险年数和每年须交的保险费，故分成四列。设3年期的年收益率是x，列表如下：投入资金（元）3年期的收益率保险年数（年）每年须交的保险费（元）2000x312相等关系：收益金=投入资金年收益率保险年数利息=本金利率期数，列 方 程： 2000x3=2096-2000，解得 x=0.016，即 x=1.6。 张大妈投保3年期的收益率是1.6。（2）利息=20002.523=151.2（元），利息税=151.220=30.24（元），151.2-30.24=120.96（元），有120.96元96元。（又解 因为2.52（1-20）=2.0181.6）故仅从现金的角度考虑，存入银行合算。例6、王明于2002年购买一辆帕萨特轿车，并参加了车辆财产保险,至2006年,四年共交了保险费8320元.在2006年因车祸造成财产严重损失.事后理赔调查时,按当地的完好市价估计总值为25万元,残存车辆的残值15万元,于是保险公司赔款10.4万元.问王明2002年参加车辆财产保险的金额是多少?保险费率是多少? 分析: 保险公司赔偿损失是按保险金额和损失程度确定的.计算公式为 保险赔款=保险金额损失程度,损失程度=100,本题中“保险财产受损价值”为（25-15）万元。解： 设王明2002年参加车辆财产保险的金额为x万元。因为损失程度=100=40，则有 10.4=x40，解得 x=26.所以参加家庭财产保险的金额为26万元。又设保险费率为p，则 26p4=0.832，解得 p= 8.所以保险费率为8。5 其他问题例1、 父子两人年龄之和是60，10年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍，求父亲今年的年龄。分析：考察对象有父亲和儿子，故分成两行，每一考察对象又都要涉及现在年龄和10年前年龄，故又分成两列。设父亲现在的年龄为x岁，列表如下：现在（岁）10年前（岁）父亲xx-10儿子60-x50-x相等关系：10年前父亲的年龄=10年前儿子年龄的7倍.列 方 程：x-10=7（50-x）,解得 x=45.答：父亲现在的年龄为45岁。例2、 一个三位数，它的十位数字比个位数字大2，百位数字是十位数字的2倍，如果把百位上数字与个位数字对换，那么可以得到比原数小495的三位数，求原三位数。分析：就三位数而言，题中涉及原数和新数（调换后的三位数），故分成两行，就三位数而言，又分百位数字、十位数字、个位数字、三位数本身，故分四列。设原来的三位数的十位数字为x，列表如下：百位数字十位数字个位数字三位数原数2xxx-21002x+10x+（x-2）新数x-2x2x100（x-2）+10x+2x相等关系：新数+495=原数.列 方 程：100（x-2）+10x+2x+495=1002x+10x+（x-2）.解得 x=3.原数=1002x+10x+（x-2）=10023+103+（3-2）=631.答：原三位数为631。例3、 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购买书用去100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完。由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本。当这批书售出4/5时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚了多少？分析：考察的对象是购买图书，购书分两次，故分成两行，每一次要涉及购书款、进价、售价、本数和结果，故又分成五列。设第一次购书进价为x元/本，购进y本。列表如下：购书款（元）进价（元/本）售价（元/本）本数（元）结果第一次100x2.8y全售出第二次150x+0.52.8y+10售出4/52.850售出1/5相等关系：购书款=进价本数列 方 程 组： xy=100， x=2， x=2.5，（x+0.5）（y+10）=150. 解得 y=50. y=40.利用表中第二次进价与售价，结合生活实际进行比较后知 x=2.5，y=40. 不合题意。于是利用 x=2，y=50. 并结合表中三、四行分步计算得：前4/5赚：（2.8-2.5）（50+10）4/5=14.4（元）后1/5赔：（2.5