高等数学》(北大第二版)5-3空间中平面及直线的方程.ppt

,1.平面的方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,5-3 空间中平面与直线的方程,平面的点法式方程（1）可以化成,例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：,即,补例 求过三点,即,解 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,例2 已知一平面的方程为,解,于是,平面的一般方程,由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 . 反过来, 可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其法线向量为n=(A, B, C).,例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, n=(3,-4, 1)是这平面的一个法线向量.,例3 将平面的一般式方程 3x+4y+6z=1化成点法式方程.,解,先在平面上任意选定一点，,比如（-3，1，1）.,则有,平面的三点式方程,已知不在同一直线上的三点,与 不共线, 即,以 作为所求平面的法向量.,设 是平面上任一点, 显然 垂直于,此混合积的坐标形式为:,解,所求的平面方程是,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,补例 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,平面的截距式方程,同理求得,平面的截距式方程为,两平面的夹角,设平面1和2的法线向量分别为 n1=(A1, B1, C1), n2=(A2, B2, C2), 那么平面1和2的夹角 应满足,两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的充要条件是 A1A2+B1B2+C1C2=0.,两平面垂直的条件,两平面平行的条件,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要条件是 A1: A2=B1: B2=C1: C2.,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:,例8 试决定常数 与 使得平面,解,两平面垂直要求其向量垂直，即有,因此有,补例 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C , 得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,2.空间直线方程,因此其一般式方程,一般式方程,直线可视为两平面交线，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9 联立方程,的解是(3,4,z),其图形是平面x-3=0与y-4=0的交线，它,平行于z轴.,代表平面y=5x+1 与平面y=x-3的交线.,例10 联立方程,求通过点M0(x0, y0, z0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线的方程.,(x-x0, y-y0, z-z0)/s ,从而有,这就是直线的方程, 叫做直线的对称式方程或标准方程.,则从M0到M的向量平行于方向向量:,设M(x, y, z)为直线上的任一点,如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量.,方向向量,对称式方程,通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线方程:,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,直线方程为,例如, 当,直线方程为,此方程组就是直线的参数方程.,参数式方程:,例11 将一般方程,解 先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组,得,已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,化成标准方程及参数方程.,故所给直线的标准方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,两直线的夹角,两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.,设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2),那么L1和L2的夹角j满足,两直线垂直与平行的条件,设有两直线,L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0;,则,方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦:,提示：,直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定直线与平面的夹角为90.,设直线的方向向量为s=(m, n, p), 平面的法线向量为n=(A, B, C), 则直线与平面的夹角j 满足,方向向量为(m, n, p)的直线与法线向量为(A, B, C)的平面的夹角j 满足,直线与平面垂直和平行的条件,设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面P 的法线向量为 n=(A, B, C), 则,L/P Am+Bn+Cp=0.,上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体, 称为平面束.,平面束,考虑三元一次方程:,A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0, 其中l为任意常数.,补例. 求直线,在平面,上的投影直线方程.,解 过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,2.平面与平面之间的