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文档简介

二、微分的几何意义,四、微分在近似计算中的应用,三、微分的运算法则,第五节,一、微分的概念,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,二.微分的几何意义,例1 设,求当,及,时，函数的增量和微分的值 .,解:,当,时，函数的增量,则,时，,则,时，,三、 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变式,5. 复合函数的微分,则复合函数,基本初等函数的微分公式 (见 P72表),例3.设,解:,，求,例4.设,求,解:先化简,例+. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如,四、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,（一）函数值的近似计算,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,解: 以,例6.,半径为10 厘米的金属圆片加热后，,半径伸长了0.05厘米，,问面积达约增加了多少？,分别表示圆片的面积及半径，,则,当,厘米，,厘米，时,面积的增量,（厘米2）,的近似值 .,例7. 求,解: 设,则,令,则由,得,的近似值 .,例8. 求,解: 由公式,内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差,思考与练习,1. 设函数,的图形如下, 试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负 .,2.,1. 已知,求,解：因为,所以,备用题,方程两边求微分, 得,已知,求,解：,2.,（二）函数的误差估计,例1.,计算球的体积可精确至，,若根据这个体积,来推算球的半径,则,的相对误差是多少？,解: 由公式,则,于是,因此,例2.有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,
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