2019届高考数学复习数列6.1数列的概念与简单表示法学案理北师大版.docx

6.1数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.1数列的定义按照一定顺序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1 an其中nN递减数列an1 an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.5数列an中，ann211n(nN)，则此数列最大项的值是 答案30解析ann211n2，nN，当n5或n6时，an取最大值30.6已知数列an的前n项和Snn21，则an .答案解析当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，故an题型一由数列的前几项求数列的通项公式1数列0，的一个通项公式为()Aan(nN)Ban(nN)Can(nN)Dan(nN)答案C解析注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可2数列，的一个通项公式an .答案(1)n解析这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an(1)n.思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN处理(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法题型二由an与Sn的关系求通项公式典例 (1)已知数列an的前n项和Sn3n22n1(nN)，则其通项公式为 答案an解析当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an(2)(2017南昌模拟)若数列an的前n项和Snan(nN)，则an的通项公式an .答案(2)n1解析由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，整理得an2an1，又当n1时，S1a1a1，a11，an是首项为1，公比为2的等比数列，故an(2)n1.思维升华 已知Sn，求an的步骤(1)当n1时，a1S1.(2)当n2时，anSnSn1.(3)对n1时的情况进行检验，若适合n2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式跟踪训练 (1)(2017河南八校一联)在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an .答案2n1解析由题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项、2为公比的等比数列，所以an2n1.(2)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an .答案解析当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn13n13n1123n1.显然当n1时，不满足上式an题型三由数列的递推关系求通项公式典例 根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)a12，an1anln；(2)a11，an12nan；(3)a11，an13an2.解(1)an1anln，anan1lnln (n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1lnlnln ln 222ln2ln n(n2)又a12适合上式，故an2ln n(nN)(2)an12nan，2n1 (n2)，ana12n12n2212123(n1).又a11适合上式，故an(nN)(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，an123n1，故an23n11(nN)引申探究在本例(2)中，若anan1(n2，且nN)，其他条件不变，则an .答案解析anan1 (n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时也满足此等式，an.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现anan1m时，构造等差数列(2)当出现anxan1y时，构造等比数列(3)当出现anan1f(n)时，用累加法求解(4)当出现f(n)时，用累乘法求解跟踪训练 (1)已知数列an满足a11，a24，an22an3an1(nN)，则数列an的通项公式an .答案32n12解析由an22an3an10，得an2an12(an1an)，数列an1an是以a2a13为首项，2为公比的等比数列，an1an32n1，当n2时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累加，得ana132n23233(2n11)，an32n12(当n1时，也满足)(2)在数列an中，a13，an1an，则通项公式an .答案4解析原递推公式可化为an1an，则a2a1，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，逐项相加得ana11，故an4.题型四数列的性质命题点1数列的单调性典例 已知an，那么数列an是()A递减数列 B递增数列C常数列 D不确定答案B解析an1，将an看作关于n的函数，nN，易知an是递增数列命题点2数列的周期性典例 数列an满足an1，a82，则a1 .答案解析an1，an1111(1an2)an2，n3，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.命题点3数列的最值典例 数列an的通项an，则数列an中的最大项是()A3 B19C. D.答案C解析令f(x)x(x0)，运用基本不等式得f(x)2，当且仅当x3时等号成立因为an，所以，由于nN，不难发现当n9或n10时，an最大思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列用作商比较法，根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断结合相应函数的图像直观判断(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解跟踪训练 (1)数列an满足an1 a1，则数列的第2 018项为 答案解析由已知可得，a221，a32，a42，a521，an为周期数列且T4，a2 018a50442a2.(2)(2017安徽名校联考)已知数列an的首项为2，且数列an满足an1，数列an的前n项的和为Sn，则S2 016等于()A504 B588 C588 D504答案C解析a12，an1，a2，a3，a43，a52，数列an的周期为4，且a1a2a3a4，2 0164504，S2 016504588，故选C.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列an的通项公式是an(n1)n，则此数列的最大项是第 项(2)若ann2kn4且对于nN，都有an1an成立，则实数k的取值范围是 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析解析(1)an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an知该数列是一个递增数列，又通项公式ann2kn4，(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n，又nN，k3.答案(1)9或10(2)(3，)1(2017湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是()Aan(1)n11BanCan2sin Dancos(n1)1答案C解析对n1,2,3,4进行验证，知an2sin 不合题意，故选C.2(2018葫芦岛质检)数列，的第10项是()A BC D答案C解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子很容易归纳出数列an的通项公式an(1)n1，故a10.3(2017黄冈质检)已知在正项数列an中，a11，a22,2aaa(n2)，则a6等于()A16 B4 C2 D45答案B解析由题意得aaaaaa3，故a是以3为公差的等差数列，即a3n2.所以a36216.又an0，所以a64.故选B.4若数列an满足a12，a23，an(n3且nN)，则a2 018等于()A3 B2C. D.答案A解析由已知a3，a4，a5，a6，a72，a83，数列an具有周期性，且T6，a2 018a33662a23.5(2018长春模拟)设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是()A. B. C4 D0答案D解析an32，由二次函数性质，得当n2或3时，an最大，最大为0.6(2017江西六校联考)已知数列an满足an且an是递增数列，则实数a的取值范围是()A(1,5) B.C. D(2,5)答案D解析an且an是递增数列，解得2a0，所以a11.(2)因为3TnS2Sn，所以3Tn1S2Sn1，得3aSS2an1.因为an10，所以3an1Sn1Sn2，所以3an2Sn2Sn12，得3an23an1an2an1，即an22an1，所以当n2时，2.又由3T2S2S2，得3(1a)(1a2)22(1a2)，即a2a20.因为a20，所以a22，所以2，所以对nN，都有2成立，所以数列an的通项公式为an2n1，nN.13(2017江西师大附中、鹰潭一中联考)定义：在数列an中，若满足d(nN，d为常数)，称an为“等差比数列”已知在“等差比数列”an中，a1a21，a33，则等于()A42 01521 B42 01421C42 01321 D42 0132答案C解析由题知是首项为1，公差为2的等差数列，则2n1，所以ana1(2n3)(2n5)1.所以4 0274 025(4 0261)(4 0261)4 0262142 01321.14若数列中的最大项是第k项，则k .答案4解析设数列为an，则an1an(n1)(n5)n1n(n4)nn(10n2)所以当n3时，an1an；当n4时，an1an.因此，a1a2a3a5a6，故a4最大，所以k4.15在数列an中，a11，a22，若an22an1an2，则an等于()A.n2n Bn35n29n4Cn22n2 D2n25n4答案C解析由题意得(an2an1)(an1an)2，因此数列an1an是以1为首项，2为公差的等差数列，an1an12(n1)2n1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)113(2n3)1(n1)21n22n2，又a1112212，因此ann22n2(nN)，故选C.16(2017太原五中模拟)设an是首项为1的正项数列，