材料力学专题一梁的内力和内力图.doc

专题一 梁的内力和内力图& 例1求图1(a)所示梁截面 A、C的剪力和弯矩。解：1）求反力 ，2）求A左截面的内力，如图(a)所示。， ， 3）求A右截面的内力，如图(b)所示。， 4）求C左截面的内力，如图(c)所示。，5）求C右截面的内力，如图(d)所示。，图1(a)(b)(c)(d)(e)【小结】求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。一般取外力比较简单的一段进行分析。在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。& 例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。图2AMe(b)BCl/2l/2ACBl/2l/2(a)FqACBl/2l/2(c)FAAMeBCFB图(d)解：(a)取A+截面左段研究，取C截面左段研究，取B-截面左段研究， (b) 求A、B处约束反力如图(d)所示，取A+截面左段研究，取C截面左段研究，取B截面右段研究，(c) 求A、B处约束反力取A+截面右段研究，取C-截面右段研究，取C+截面右段研究，取B-截面右段研究，& 例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。(b)图3(a)解：(a) 求支反力： ， ： ， 列内力方程， 作剪力图和弯矩图。(b) 求支反力：， FAy=0：，列内力方程作剪力图和弯矩图。(a)(b)(c)图4& 例4利用内力方程作图4(a)所示简支梁的剪力图和弯矩图。解：AC段有：，（0x2），（0x2）其剪力图和弯矩图如图(b)(c)所示。由于结构是对称的，荷载也是对称的，BC段与AC段的FS图是反对称的，M图是对称的，据此特点可方便地作出AC段的剪力图和弯矩图。& 例5试用剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系判断图5所示各梁的内力图形态，画出剪力图和弯矩图。解：(a) 根据微分关系： 和 AC段：为常数，且，FS图从左到右为向下的斜直线，M图为向上凸的抛物线。CB段：为常数，且，FS图从左到右为向上的斜直线，M图为向下凹的抛物线。 在C截面处，FS图连续，M图光滑。求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。(b)(a)(b) 求支反力： ， ： ， 判断内力图形态并作内力图AC段：为常数，且q0，FS图从左到右为向下的斜直线，M图为向上凸的抛物线，在距端截面处，M取极大值。CB段：，FS图为水平直线，且FS0，M图从左到右为向下的斜直线。在C截面处，FS图连续，M图光滑。求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。(c) 求支反力：， ： ， 判断内力图形态并作内力图AC段：为常数，且，FS图从左到右为向下的斜直线，M图为向上凸的抛物线。截面处，有集中力作用，FS图突变，M图不光滑。CD段：为常数，且，FS图从左到右为向下的斜直线，M图为向上凸的抛物线。DB段：，图为水平直线，且FS0，从左到右为向上的斜直线； C截面处，有集中力偶作用，有突变； CD段，且FS0，从左到右为向上的斜直线，且； DB段，为向上凸的抛物线，且与在点相切； 在距端截面处，FS=0，M取极大值17.93kNm。& 例6试用叠加法画出图6所示梁的弯矩图。图6解：(a)(b)图7(a)(b)(c)(d)& 例7试用画出图7 (a)所示梁的剪力图和弯矩图。【解】1）将梁从铰B处分开，计算梁的外约束反力，如图7 (b)。FAx=FBx=FBx=0，FAy=FBy=FBy=FD =qa，MA= qa22）该梁的内力图应分成AB，BC和CD三段绘制，各段的起点和终点内力值时应首先确定，用截面法计算出这些截面的内力并列于表1中，其中2a-和2a+分别为C偏左和偏右侧截面的坐标。3）根据梁的内力微分关系，逐段判断内力图的大致形状并作梁的剪力图和弯矩图。先作剪力图。按一定比例，在坐标系中首先确定AB、BC和CD梁段端点的剪力坐标点。AB段梁无分布载荷，由可以知道其剪力图线为水平直线；BC段梁因q0，剪力图为上斜直线，用上述直线连接这三段梁的端点，即可得到该梁的剪力图，如图7 (c)所示。(b)(a)图8再作弯矩图。AB梁段因q=0，剪力图为水平线，且其剪力FS =qa0，则知道弯矩图为上斜直线；同理，BC梁段因，弯矩图为上凸抛物线，CD梁段由于q0，为下凸抛物线。在C截面作用有集中力偶qa2，弯矩数值由qa2/2突变到-qa2/2。根据关于梁的弯矩图的曲线形状的分析，从梁左端A截面开始，连接各梁段端截面的坐标点，即可方便地绘制出梁的弯矩图，如图(d)所示。& 例8试用分段叠加法作图8(a)所示梁的弯矩图。解：1）计算支座反力，2）求控制截面处的弯矩。本例中控制截面为C、A、D、E、B、F各处，其弯矩分别为：3）把整个梁分为CB、AD、DE、EB、BF五段，然后用区段叠加法绘制各段的弯矩图。方法是：先用一定比例绘出CF梁各控制截面的弯矩纵标，然后看各段是否有荷载作用，如果某段范围内无荷载作用（例如CA、DE、EB三段），则可把该段端部的弯矩纵标连以直线，即为该段弯矩图。如该段内有荷载作用（例如AD、BF二段），则把该段端部的弯矩纵标连一虚线，以虚线为基线叠加该段按简支梁求得的弯矩图。整个梁的弯矩图如图8(b)所示，其中AD段中点的弯矩为：。& 例9图9(a)为梁的剪力图，试求此梁的荷载图与弯矩图（已知梁上无集中力偶）。图9解：1）求荷载图由FSA=50kN知梁在A处有一向下集中力为50kN，B截面两侧剪力由50kN突变到50kN，故梁在B截面必有一向上荷载100kN。AB段、BC段FS图为水平线，故两段无分布荷载作用，q=0。CE段为右下斜直线，斜率为常量，故梁上必有向下的均布荷载，荷载集度大小等于剪力图的斜率，即E截面的剪力由50kN变到0，故梁上必有向上的集中力50kN。根据以上分析结果，可画出梁的荷载图如图9(b)所示。（2）求弯矩图AB段：FS为负值，且为水平线，故M为一向上斜直线。MA0，MB的大小等于AB间剪力图面积，即MB50150kNm BC：FS为正值，且为水平线，故M为一向下的斜直线。CE段：q0，M为一下凸曲线。q=25kN/m，D点FSD0，M有极值，。E端铰处无集中力偶，MA0。根据上述分析，画出梁的弯矩图，如图9(c)所示。练习题1、试求下列各梁在指定1、2、3截面上的剪力和弯矩值。题1图2、试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。(a)(b)(d)(e)(f)题2图3、分别用微分法和叠加法作图示各梁的剪力图和弯矩图（支座反力已给出）。(a)(b)(c)(d)(e)(f