2019届高考数学复习平面向量数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例分层演练直击高考文.docx

第3讲 平面向量的数量积及应用举例1(2018无锡质检)已知向量a(2，1)，b(5，3)，则ab的值为_解析 因为ab(2，1)(5，3)1037.答案 72等边三角形ABC的边长为1，a，b，c，那么abbcca_解析 由题意知|a|b|c|1，且a与b的夹角为120，b与c的夹角为120，c与a的夹角也为120.故abbcca.答案 3已知|a|3，|b|4，且a与b不共线，若向量akb与akb垂直，则k_解析 因为(akb)(akb)，所以(akb)(akb)0，即|a|2k2|b|20.又因为|a|3，|b|4，所以k2，即k.答案 4如图，菱形ABCD的边长为2，BAD60，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则的最大值为_解析 由平面向量的数量积的几何意义知，等于与在方向上的投影之积，所以()max()229.答案 95已知平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.解析 由题意得：m2.答案 26(2018南通市高三第一次调研测试)在ABC中，若2，则的值为_解析：由2，得2bcacab，化简可得ac.由正弦定理得.答案：7(2018南京高三模拟)在凸四边形ABCD中，BD2，且0，()()5，则四边形ABCD的面积为_解析：()()()()()()5，即AC2BD25.因为BD2，所以AC3，所以四边形ABCD的面积为ACBD233.答案：38(2018台州月考)平面向量a，b满足|a|2，|ab|4，且向量a与向量ab的夹角为，则|b|为_解析 因为向量a与向量ab的夹角为，所以cos ，解得ab0，即ab.所以|a|2|b|2|ab|2 ，从而解得，|b|2.答案 29在ABC中，AB10，AC6，O为BC的垂直平分线上一点，则_解析 取BC边的中点D，连结AD，则()()()(22)(62102)32.答案 3210已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_解析 法一：以点A为原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，又E在AB边上，故设E(t，0)，t0，1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1，0)，所以(t，1)(1，0)t，又t0，1，故的最大值为1.法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，所以|11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC1，所以()max|11.答案 1111.如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一点，xy.(1)如果2，求x，y的值；(2)如果3，|4，|2，且与的夹角为60时，求的值解 (1)由2，所以2()，即32，所以x，y. (2)()，所以()229.12已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积解 (1)证明：因为mn，所以asin Absin B，即ab，其中R是三角形ABC外接圆的半径，所以ab.所以ABC为等腰三角形(2)由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.所以abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，所以ab4(舍去ab1)，所以Sabsin C4sin .1已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_解析：a与b的夹角为锐角，则ab0且a与b不共线，则解得或0或，所以的取值范围是.答案：2(2018江西省师大附中联考)在直角三角形ABC中，ACB90，ACBC2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则_.解析：建立如图所示的直角坐标系， 则A(2，0)，B(0，2)，P1，P2，所以，(0，2)，(2，0)，所以(2，2)故()(2，2)4，()(2，2)4.答案：43.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_解析：因为，所以|2|22，将AB8，AD5代入，解得22.答案：224(2018苏锡常镇四市高三调研)在ABC中，已知AB1，AC2，A60，若点P满足，且1，则实数的值为_解析：由题意可得121，21，14，224221，又1，则()()1，代入化简得42310，解得或1.答案：或15在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin ，t).(1)若a，且|，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k4，且tsin 取最大值4时，求.解：(1)由题设知(n8，t)，因为a，所以8n2t0.又因为|，所以564(n8)2t25t2，得t8.当t8时，n24；t8时，n8，所以(24，8)，或(8，8)(2)由题设知(ksin 8，t)，因为与a共线，所以t2ksin 16，tsin (2ksin 16)sin 2k.因为k4，所以10，所以当sin 时，tsin 取得最大值.由4，得k8，此时，(4，8)所以(8，0)(4，8)32.6已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且()18，求c边的长解：(1)mnsin Acos Bsin Bcos Asin(AB)，对于ABC，ABC，0C，所以sin(AB)sin C，所以mnsin C，又mnsin 2C，所以sin 2Csin C，cos C，C.(2)由sin A，