2019届高考数学复习立体几何与空间向量8.4平行关系学案理北师大版.docx

8.4平行关系最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba知识拓展重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(6)若，直线a，则a.()题组二教材改编2下列命题中正确的是()A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b答案D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b，正确3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_答案平行解析连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.题组三易错自纠4若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内且过B点的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一与a平行的直线答案A解析当直线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.5设，为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：a，b，a，b；，；，；a，b，ab.其中能推出的条件是_(填上所有正确的序号)答案解析在条件或条件中，或与相交；由，条件满足；在中，a，abb，又b，从而，满足6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_答案平行四边形解析平面ABFE平面DCGH，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG，EFHG.同理EHFG，四边形EFGH是平行四边形题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定典例 如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.证明(1)连接EC，ADBC，BCAD，BC綊AE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点又F是PC的中点，FOAP，又FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD，又PD平面PAD，FH平面PAD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，OHAD，又AD平面PAD，OH平面PAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.命题点2直线与平面平行的性质典例 (2017长沙调研)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积(1)证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD底面ABCD，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K为OB的中点再由POGK得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.思维升华 判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性质(，aa)(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)跟踪训练 (2016全国)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体N-BCM的体积(1)证明由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体N-BCM的体积V四面体N-BCMSBCM.题型二平面与平面平行的判定与性质典例 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.又A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，A1E，EF平面EFA，平面EFA1平面BCHG.引申探究在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，连接MD，D为BC的中点，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1.又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，平面A1BD1平面AC1D.思维升华 证明面面平行的方法(1)面面平行的定义(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化跟踪训练 (2018唐山质检)如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.证明(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO.因为BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN.因为DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN.因为BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG.因为DEBDD，BD，DE平面BDE，所以平面BDE平面MNG.题型三平行关系的综合应用典例 如图所示，平面平面，点A，点C，点B，点D，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEBCFFD.(1)求证：EF平面；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC4，BD6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长(1)证明当AB，CD在同一平面内时，由平面平面，平面平面ABDCAC，平面平面ABDCBD知，ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又EF，BD，EF平面.当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD平面DH，且DHAC，平面平面，平面平面ACDHAC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AGGHCFFD，连接EG，FG，BH.又AEEBCFFDAGGH，GFHD，EGBH.又EGGFG，BHHDH，平面EFG平面.又EF平面EFG，EF平面.综合可知，EF平面.(2)解如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且MEBD3，MFAC2.EMF为AC与BD所成的角或其补角，EMF60或120.在EFM中，由余弦定理得EF，即EF或EF.思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决跟踪训练 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形(1)求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH；(2)若AB4，CD6，求四边形EFGH周长的取值范围(1)证明四边形EFGH为平行四边形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD.又EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB，EFAB，又AB平面EFGH，EF平面EFGH，AB平面EFGH.同理可证，CD平面EFGH.(2)解设EFx(0x4)，EFAB，FGCD，则1.FG6x.四边形EFGH为平行四边形，四边形EFGH的周长l212x.又0x4，8l12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)1若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C与直线l至少有两个公共点D内的直线与l都相交答案B解析因为l，直线l不平行于平面，所以直线l只能与平面相交，于是直线l与平面只有一个公共点，所以平面内不存在与l平行的直线2已知直线a和平面，那么a的一个充分条件是()A存在一条直线b，ab且bB存在一条直线b，ab且bC存在一个平面，a且D存在一个平面，a且答案C解析在A，B，D中，均有可能a，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确3(2018攀枝花质检)平面平面，点A，C，点B，D，则直线AC直线BD的充要条件是()AABCD BADCBCAB与CD相交 DA，B，C，D四点共面答案D解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知ACBD.必要性显然成立4一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是()Al BlCl与相交但不垂直 Dl或l答案D解析当l时，直线l上任意点到的距离都相等；当l时，直线l上所有的点到的距离都是0；当l时，直线l上有两个点到的距离相等；当l与斜交时，也只能有两个点到的距离相等故选D.5对于空间中的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是()A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，n，则mn D若m，n，则mn答案D解析对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确6如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A垂直 B相交不垂直C平行 D重合答案C解析如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQAL，PRAM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR平面AMBNCL，即平面LMN平面PQR.7(2018重庆模拟)在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE，则EMMA12，ENBN12，所以MNAB.所以MN平面ABD，MN平面ABC.8设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m.可以填入的条件有_答案或解析由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确9(2017承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.10(2018海口调研)将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”给出下列四个命题：垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两平面平行；平行于同一直线的两直线平行；平行于同一平面的两直线平行其中是“可换命题”的是_(填序号)答案解析由线面垂直的性质定理可知是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故是假命题，故不是“可换命题”11(2017南昌模拟)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为梯形，ABCD，AB2DC2，且PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为PAD的重心(1)求证：GF平面PDC；(2)求三棱锥GPCD的体积(1)证明方法一连接AG并延长交PD于点H，连接CH.由梯形ABCD中ABCD且AB2DC知，.又E为AD的中点，G为PAD的重心，.在AHC中，故GFHC.又HC平面PCD，GF平面PCD，GF平面PDC.方法二过G作GNAD交PD于N，过F作FMAD交CD于M，连接MN，G为PAD的重心，GNED.又ABCD为梯形，ABCD，MF，GNFM.又由所作GNAD，FMAD，得GNFM，四边形GNMF为平行四边形GFMN，又GF平面PCD，MN平面PCD，GF平面PDC.方法三过G作GKPD交AD于K，连接KF，GK，由PAD为正三角形，E为AD的中点，G为PAD的重心，得DKDE，DKAD，又由梯形ABCD中ABCD，且AB2DC，知，即FCAC，在ADC中，KFCD，又GKKFK，PDCDD，平面GKF平面PDC，又GF平面GKF，GF平面PDC.(2)解方法一由平面PAD平面ABCD，PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，知PEAD，BEAD，又平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD，且PE3，由(1)知GF平面PDC，V三棱锥GPCDV三棱锥FPCDV三棱锥PCDFPESCDF.又由梯形ABCD中ABCD，且AB2DC2，知DFBD，又ABD为正三角形，得CDFABD60，SCDFCDDFsinBDC，得V三棱锥PCDFPESCDF，三棱锥GPCD的体积为.方法二由平面PAD平面ABCD，PAD与ABD均为正三角形，E为AD的中点，知PEAD，BEAD，又平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD，且PE3，连接CE，PGPE，V三棱锥GPCDV三棱锥EPCDV三棱锥PCDEPESCDE，又ABD为正三角形，得EDC120，得SCDECDDEsinEDC.V三棱锥GPCDPESCDE3，三棱锥GPCD的体积为.12.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形，BCPD2，E为PC的中点，CB3CG.(1)求证：PCBC；(2)AD边上是否存在一点M，使得PA平面MEG？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由(1)证明因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.因为四边形ABCD是正方形，所以BCCD.又PDCDD，PD，CD平面PCD，所以BC平面PCD.因为PC平面PDC，所以PCBC.(2)解连接AC，BD交于点O，连接EO，GO，延长GO交AD于点M，连接EM，则PA平面MEG.证明如下：因为E为PC的中点，O是AC的中点，所以EOPA.因为EO平面MEG，PA平面MEG，所以PA平面MEG.因为OCGOAM，所以AMCG，所以AM的长为.13(2018南昌质检)在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是()AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45答案C解析因为截面PQMN是正方形，所以MNQP，又PQ平面ABC，MN平面ABC，则MN平面ABC，由线面平行的性质知MNAC，又MN平面PQMN，AC平面PQMN，则AC截面PQMN，同理可得MQBD，又MNQM，则ACBD，故A，B正确又因为BDMQ，所以异面直线PM与BD所