江苏专版2019届高考数学复习数列第3讲等比数列及其前n项和分层演练直击高考文.docx

第3讲 等比数列及其前n项和1在等比数列an中，若首项a11，公比q4，则该数列前5项和S5_.解析 在等比数列an中，因为a11，q4，所以S5341. 答案 3412(2018邯郸大名一中月考改编)若等比数列an满足a1a320，a2a440，则公比q_解析 q2.答案 23等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1_解析 设等比数列an的公比为q，由S3a210a1得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1.答案 4若数列an的前n项和为Snan，则数列an的通项公式是an_.解析 Snan，Sn1an1(n2)，相减得ananan1，即an2an1(n2)又S1a1，即a11，故an(2)n1.答案 (2)n15(2018常州第二次质量预测)设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a60，则_解析 由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由Sn，得S6，S3，所以28.答案 286(2018南京高三模拟)若等比数列an的各项均为正数，且a3a12，则a5的最小值为_解析：设等比数列an的公比为q(q0且q1)，则由a3a12，得a1.因为a3a120，所以q1，所以a5a1q4.令q21t0，所以a528，当且仅当t1，即q时，等号成立，故a5的最小值为8.答案：87设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是_解析 由已知可得a1f(1)，令xn，y1，所以f(n)f(1)f(n1)，所以f(1)，所以an是以f(1)为首项，f(1)为公比的等比数列所以anf(n)f(1)n，所以Sn1.因为nN*，所以Sn1.答案 8已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1(nN*)的取值范围是_解析 因为a5a2q3，所以2q3，所以q，所以a14，所以an423n，所以akak1，所以a1a2a2a3anan13232.答案 9已知an是首项为1的等比数列，若Sn是an的前n项和，且28S3S6，则数列的前4项和为_解析 设数列an的公比为q.当q1时，由a11，得28S328384.而S66，两者不相等，因此不合题意当q1时，由28S3S6及首项为1，得，解得q3.所以数列an的通项公式为an3n1.所以数列的前4项和为1.答案 10已知数列an满足a12且对任意的m，nN，都有an，则数列an的前n项和Sn_解析：因为an，令m1，则an，即a12，所以an是首项a12，公比q2的等比数列，Sn2n12.答案：2n1211已知等差数列an满足a22，a58.(1)求an的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn.解 (1)设等差数列an的公差为d，则由已知得所以a10，d2. 所以ana1(n1)d2n2.(2)设等比数列bn的公比为q，则由已知得qq2a4，因为a46，所以q2或q3.因为等比数列bn的各项均为正数，所以q2.所以bn的前n项和Tn2n1.12(2018杭州模拟)设等差数列an的首项a1为a(a0)，前n项和为Sn.(1)若S1，S2，S4成等比数列，求数列an的通项公式；(2)证明：对nN*，Sn，Sn1，Sn2不构成等比数列解 (1)设等差数列an的公差为d，则Snnad，所以S1a，S22ad，S44a6d.因为S1，S2，S4成等比数列，所以SS1S4，即(2ad)2a(4a6d)，整理得d(2ad)0，所以d0或d2a.当d0时，ana(a0)；当d2a时，ana(n1)d(2n1)a(a0)(2)证明：不妨设存在mN*，使得Sm，Sm1，Sm2构成等比数列，则SSmSm2，得a2madm(m1)d20，(*)若d0，则a0，这与已知矛盾；若d0，要使数列an的首项a存在，则必有(*)式的0，然而(md)22m(m1)d2(2mm2)d21，因此a11，am16，Sm，即31，解得q2，ama1qm12m116，m5.答案 53(2018山西省四校联考)等比数列an满足an0，nN*，且a3a2n322n(n2)，则当n1时，log2a1log2a2log2a2n1_.解析 由等比数列的性质，得a3a2n3a22n，从而得an2n，所以log2anlog22nn.log2a1log2a2log2a2n112(2n1)n(2n1)答案 n(2n1)4(2018江苏省高考名校联考(一)设Sn为数列an的前n项和，若数列an与数列(t1)分别是公比为q，q的等比数列，则qq的取值范围为_解析：若q1，则tnt，不成等比数列，故q1，则tt，考虑前三项1t，t，t成等比数列得，t，反之，当t时，t成等比数列，此时，公比为，即q.由t1，得1，q1，qqq2，故qq的取值范围是(2，)答案：(2，)5已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值解 (1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为an(1)n1.(2)由(1)得Sn1当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn的最大项的值为，最小项的值为.6(2018江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五)已知数列an中，an0，其前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且Tn1(nN*)(1)求a1；(2)若bn2Sn，证明：数列bn是等比数列；(3)在(2)的条件下，已知数列cn，dn满足|cn|dn|，若p(p3)是给定的正整数，数列cn，dn的前p项和分别为Qp，Rp，且QpRp.求证：对任意的正整数k(1kp)，ckdk.解 (1)当n1时，由题意得，T11，即1，所以a11.(2)证明：因为Tn1，所以当n2时，Tn11.由，得(n2，nN*)，所以(2Sn)(2Sn1)2a2(2Sn1)(2Sn)2，即bnbn12(bn1bn)2，所以，所以2或(n2，nN*)又数列an的各项均为正数，所以数列2Sn，即数列bn单调递减，所以(n2，nN*)因为a11，所以b110，所以数列bn是以1为首项，为公比的等比数列(3)证明：由(2)知，bn(nN*