浙江专版2019版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5曲线与方程学案.docx

10.5曲线与方程考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计20132014201520162017曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.理解21(1),6分7(文),5分分析解读1.求曲线方程的题目往往出现在解答题中,并且以第一小题的形式出现,难度适中.2.预计2019年高考试题中,求曲线的方程会有所涉及.五年高考考点曲线与方程 1.(2017课标全国理,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=22y.因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016课标全国,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解析(1)因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24+y23=1(y0).(4分)(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由y=k(x-1),x24+y23=1得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.所以|MN|=1+k2|x1-x2|=12(k2+1)4k2+3.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-1k(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=242-2k2+12=44k2+3k2+1.故四边形MPNQ的面积S=12|MN|PQ|=121+14k2+3.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,83).(12分)3.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以ARFQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12,SPQF=|a-b|2.由题设可得212|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)4.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0),则x0=x1+x22,y0=y1+y22.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得=36-20(1+t2)0(*),x1+x2=61+t2,所以x0=31+t2,代入直线l的方程,得y0=3t1+t2.因为x02+y02=9(1+t2)2+9t2(1+t2)2=9(1+t2)(1+t2)2=91+t2=3x0,所以x0-322+y02=94.由(*)解得t245,又t20,所以53x03.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-322+y2=.(3)存在.由(2)知,曲线C是在区间53,3上的一段圆弧.如图,D53,253,E53,-253,F(3,0),直线L过定点G(4,0).联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.令判别式=0,解得k=34,由求根公式解得交点的横坐标为xH,I=12553,3,由图可知:要使直线L与曲线C只有一个交点,则kkDG,kEGkGH,kGI,即k-257,257-34,34.5.(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组y-1=k(x+2),y2=4x,可得ky2-4y+4(2k+1)=0.i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.ii)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.若螖0,x00,由解得k12,即当k(-,-1)时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若螖=0,x00或则由解得k-1,12或-12k0,x00,则由解得-1k-12或0kb0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意知c=5,e=ca=,a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为x29+y24=1.(2)设两切线为l1,l2,当l1x轴或l1x轴时,l2x轴或l2x轴,可知P(3,2).当l1与x轴不垂直且不平行时,x03,设l1的斜率为k,且k0,则l2的斜率为-1k,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与x29+y24=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,直线l1与椭圆相切,=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0,k是方程(x02-9)x2-2x0y0x+y02-4=0的一个根,同理,-1k是方程(x02-9)x2-2x0y0x+y02-4=0的另一个根,k-1k=y02-4x02-9,整理得x02+y02=13,其中x03,点P的轨迹方程为x2+y2=13(x3).P(3,2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点曲线与方程 1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,8)在圆C:x2+y2+2x-2y-23=0中,长为8的弦中点的轨迹方程为()A.(x-1)2+(y+1)2=9B.(x+1)2+(y-1)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=16D.(x+1)2+(y-1)2=16答案B2.(2017浙江温州十校期末联考,6)点P为直线y=34x上任一点,F1(-5,0),F2(5,0),则下列结论正确的是() A.|PF1|-|PF2|8B.|PF1|-|PF2|=8C.|PF1|-|PF2|8D.以上都有可能答案C3.(2016浙江镇海中学测试卷四,13)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.则直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹方程为.答案x24+y23=1(x2)4.(2017浙江稽阳联谊学校联考(4月),21)已知两个不同的动点A,B在椭圆y28+x24=1上,且线段AB的垂直平分线恒过点P(0,-1).求:(1)线段AB的中点M的轨迹方程;(2)线段AB的长度的最大值.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).易知直线AB的斜率存在,由题意可知,y128+x124=1,y228+x224=1,则(y1-y2)(y1+y2)8+(x1-x2)(x1+x2)4=0,得y1-y2x1-x2=-2x0y0.又y1-y2x1-x2y0+1x0=-1,得y0=-2.从而,线段AB的中点M的轨迹方程为y=-2(-2x0),求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解析设M(x,y),则|MN|=|MO|2-|NO|2=x2+y2-1,|MQ|=(x-2)2+y2,由题设知|MN|MQ|=,x2+y2-1(x-2)2+y2=,(5分)两边平方整理得(1-2)x2+(1-2)y2+42x-(1+42)=0(0),(7分)由得=1,(8分)当=1时,方程化为4x-5=0,表示一条垂直于x轴的直线;(10分)当(0,1)(1,+)时,方程可变形为x2+y2+x-=0,配方得+y2=,方程表示一个圆.(14分)综上,动点M的轨迹方程为(1-2)x2+(1-2)y2+42x-(1+42)=0(0),当=1时,它表示一条垂直于x轴的直线;当(0,1)(1,+)时,它表示一个圆.(15分)C组20162018年模拟方法题组方法1直接法求轨迹方程 1.在ABC中,=(0,-2),M在y轴上,且=12(+),C在x轴上移动.求点B的轨迹方程.解析设B(x,y),C(a,0),M(0,b),a0,=12(+),M是BC的中点,可得a+x2=0,y+02=b,a=-x,b=y2,又=(-a,-2),=(x-a,y),-ax+a2-2y=0, 把a=-x代入中,得y=x2(x0),所以点B的轨迹方程为y=x2(x0).2.已知ABC中,AB=2,AC=2BC,求顶点C的轨迹方程.解析以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=2BC得,(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2,平方整理得(x-3)2+y2=8,A、B、C三点为三角形的顶点,y0,顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=8(y0).方法2定义法求轨迹方程3.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为焦点的椭圆过A,B两点,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为() A.y2-x248=1(y-1)B.y2-x248=1(y-1)C.y2-x248=1D.x2-y248=1答案A方法3相关点法求轨迹方程4.过点(1,0)的直线l与中心在原点、焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点,直线y=12x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.解析设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由e=ca=22,得a2-b2a2=12,从而a2=2b2,所以c=b.故椭圆C方程为x2+2y2=2b2,设A(x1,y1)、B(x2,y2),A、B在椭圆C上,x12+2y1