基于VAR的证券投资组合优化模型

本科毕业论文题 目: 基于VAR的证券投资组合优化模型院 别 信息管理学院 学生姓名 学 号 年 级 专 业 管理科学 指导教师 职 称 31摘 要VAR (Value at Risk)是一个在当前的金融市场条件下，各种不同的风险测量一个确定投资的获利的重要方法。本文在简要介绍了证券投资有关的概念、投资组合风险、VAR概念及计算方法后，在经典的Markowitz均值-方差模型的基础上，加入了VAR约束，研究了基于VAR约束的证券投资组合决策优化模型及它的几何算法，并从VAR模型的数学特性上进行分析，得出了假定给定一个可接受的VAR，如何确定一组给定的证券的投资组合的最大收益，并且同时满足相关的约束条件。假设市场条件是变化的，如何在保证给定投资组合的条件下，在给定VAR范围内，重新获得一个投资组合。本文的最后部分是对我国股票市场不允许卖空的前提下，从沪深股市上选择了6只股票进行实证分析，运用树形算法得出确定最大预期损失的证券投资组合，并在此基础上提出了对我国股市发展的建议。【关键词】投资组合 VAR 几何算法 树形算法 Portfolio Optimization Model with VaR Constraints AbstractAt the present of finance market, VAR is an important method of ensuring investment profits among varies of risk measurements. This paper, first of all, introduces some concepts about investment of negotiable securities, the risk of investment combination, the concept of VAR and the measures of calculation. On the basis of the classical Markowitz mean-variance model, this paper adds the VAR restrict, researches the optimizing model of combination of negotiable securities investment under the restriction of VAR and analyzes VAR model on the mathematics characteristic on the basis of the model of Markowitz mean-variance. Under a acceptable VAR, by analyzing the mathematics characteristic of VAR model, this paper comes to a conclusion how to confirm the max income of a combination of negotiable securities investment and satisfies the relative conditions of restriction at the same time .Supposed the market condition can be changed, how to acquire a new combination investment under the given condition and the given scope of VAR is discussed.At the end of this thesis, on the condition of our countrys stock market, premising it doesnt allow to oversell, six stocks with good outstanding achievement are chosen to do an empirical analyzing. Making use of the tree arithmetic, the study achieves a combination of negotiable securities investment of a fixing anticipate max losing, and on the basis of this, some suggestiones on the development of our countrys stock market are proposed.Keywords：Investment combination, VAR, Geometry arithmetic, Tree arithmetic 目 录1 引言12 证券投资组合的相关概念22.1 证券投资及其属性22.2 组合投资22.3 证券投资组合23 证券投资组合的风险23.1 风险的本质及定义23.2 风险的来源及种类44 证券投资组合优化的必要性及一般思考64.1 现代证券投资组合理论的局限64.2 证券投资组合优化的必要性85 VAR理论的基础及其度量方法85.1 VAR产生的背景85.2 VAR的定义95.3 VAR的三个要素115.4 VAR的计算方法125.4.1 投资组合的VAR度量125.4.2 VAR的三种计算方法146 基于VAR约束的投资组合模型156.1 Markowitz投资组合模型156.2 在VAR约束下的投资组合优化模型166.3 基于VAR约束的投资组合模型的改进206.4 基于沪深两市股票的实证分析216.4.1 样本的选取216.4.2 平均收益率的计算216.4.3 平均收益率的正态分布检验226.4.4 模型的求解算法236.4.5 不允许卖空时的证券组合分析26结论28参考文献29附录30致谢32毕业论文1 引言现代投资组合理论和投资实践是以经典的 Markowitz 证券组合理论为基石的。证券组合理论是1952年3月哈里马科维茨(Harry Markowitz)首席提出的，该理论建立了投资组合二次规划模型，并利用效用函数理论给出了利用无差异曲线在投资组合有效集上选择最佳组合的方法。在使用数量化分析的大机构里，投资者所建立的投资决策工具和风险管理工具，大部分是基于马科维茨组合理论的基本原理。但在实际运作中，该理论还存在诸多局限，在实用化研究中还存在极大的待拓展空间。国内外出现了许多的证券投资理论，这些理论由于是定性的描述而无法在实践中据此做出规范的投资决策。1952年，哈里马柯威茨发表了题为投资组合选择的论文，标志着现代金融学的开端，奠定了现代投资理论发展的基石，建立了均值-方差模型的框架。1963年马柯威茨的学生威廉夏普提出了简化计算的单指数模型，使现代投资理论能够应用于大量投资时的投资实践中。Konno与Yamazaki提出用平均绝对偏差来度量风险。Harlow使用低位部分矩通过只考虑收益分布的左尾来度量风险。Roy提出了安全-首要模型，随机占优模型等。Kaplanski与Knoll建立了一个基于VAR的均衡资产定价模型，并提出用VAR-Beta来衡量单个资产在均衡时的风险。Gaivoronski 与 Pflug通过平滑消除历史VaR中的局部不规则行为得到VaR的近似值，然后计算给定收益率下最小化VaR的组合，从而得到均值-VaR有效前沿。Uryasev与Rockafellar提出了基于情景的使用条件VaR优化模型。近年来，我国学者对VAR也给予了很多研究，对有关的理论和应用问题做了一定的探讨，其中教有代表性的有：郑文通、刘宇飞、王春峰等等探讨了VaR的原理和意义，对计算VaR的三种基本方法做了介绍；张尧庭从理论上探讨了VaR的度量问题；范英运用方差一协方差法结合移动平均模型，叶青(2000)、王美今和王华(2002)、邹建军等(2003 ) 运用方差-协方差法结合GARCH模型，对我国股市风险和波动性进行了实证分析。在采用GARCH模型计算VaR的文献中，王美今和王华(2002) 通过上海股票市场的实证分析表明：收益率分布假设是正确计算VaR值的前提，对于普遍存在着的收益率分布非正态的状况，一般的GARCH模型可能低估风险，必须选择能准确描述收益率尾部分布的模型；邹建军等分别采用GARCH(1,1)模型、RiskMetrics和移动平均法预测上海股市日收益率波动性计算每天的VaR，返回式检验表明GARCH(1,1)模型比RiskMetrics和移动平均法能更准确地反映我国上海股市的风险。本文在简要介绍了证券投资有关的概念、投资组合风险、VAR概念及计算方法后，在经典的Markowitz均值-方差模型的基础上，加入了VAR约束，研究了基于VAR约束的证券投资组合决策优化模型及它的几何算法，并从VAR模型的数学特性上进行分析，得出了假定给定一个可接受的VAR，如何确定一组给定的证券的投资组合的最大收益，并且同时满足相关的约束条件。假设市场条件是变化的，如何在保证给定投资组合的条件下，在给定VAR范围内，重新获得一个投资组合。本文的最后部分是对我国股票市场不允许卖空的前提下，从沪深股市上选择了6只股票进行实证分析，运用树形算法得出确定最大预期损失的证券投资组合，并在此基础上提出了对我国股市发展的建议。2 证券投资组合的相关概念2.1 证券投资及其属性投资是经济学的一个重要范畴，投资包含两层含义3：一层含义是指各个投资主体为了在未来获得经济效益或社会效益而进行的实物质产购建活动，比如厂房、机器设备等，也叫“直接投资”。另一层含义是指企业或个人用其积累起来的货币购买股票、债券等有价证券，借以获得收益的经济行为，也叫“间接投资”。在我国，如要专门表示第二层的含义，人们习惯将“投资”一词冠以“证券”二字。而在西方，人们所谈及的“投资”就是指的“证券投资”王玉霞，证券投资学，东北财经大学出版社，2003，2-3。证券投资5是对预期收益的风险投资，具有收益性、风险性和流动性三个基本属性，在证券投资中，预期收益决定投资资金的投放方向；风险性决定投资资金的投放数量；流动性则决定投资资金的留放时间，这三大基本属性，使证券投资成为一种极具吸引力又极具挑战性的经济活动，同时又有力的推动着社会资金不断由低效率向高效率流动。2.2 组合投资组合投资就是指分散投资。将一定的资金按不同的比重对所选的一定数量投资品种进行分散投资，从而形成一个“证券组合”，以达到降低风险，获得最大投资收益。2.3 证券投资组合证券投资组合6是指投资者依据证券的风险程度和年获利能力，按一定原则进行恰当的选择组合，一种低风险的投资策略。证券投资的目的是取得收益。但是证券投资又是一项高收益伴随高风险的经济活动。收益和风险是证券投资的两个核心问题。指望毫无风险地从证券投资中稳获收益是不现实的，收益和风险是相伴而行的。只有正确分析和把握证券投资风险，投资者才能在心理上做好应付证券投资带来的风险的准备，从而更好地对风险进行防范。证券投资的基本原则既投资者的意愿，总是追求收益的最大化和风险的最小化从而在收益和风险这一对相互作用、相互矛盾的统一体中寻找某种均衡。证券投资的核心和关键是有效地进行分散投资，通过分散投资，来分散风险，达到减少总风险的目的。3 证券投资组合的风险3.1 风险的本质及定义 20世纪80年代以来，国际证券市场经历了前所未有的迅猛发展，证券活动不断地影响着人类的整个经济生活。面对证券市场规模的不断扩大以及新投资品种的不断增多，投资者不仅要知道投资活动的预期收益和资产价值，更需要了解投资活动承受的风险。随着我国社会主义市场经济体制的建立与完善，证券市场以其独特的魅力在全国各地蓬勃发展，证券市场中的投资与投机活动，使证券市场价格跌宕起伏，与此同时，证券市场风险也在不断加大。人们越来越对风险的隐蔽性和突发性充满担忧。实际工作者急需更精确、更直观、更容易操作的风险度量方法和风险管理工具，以能够解决不同证券市场中的风险管理问题。 目前，学术界对风险的内涵还没有统一的定义，由于对风险的理解和认识程度不同，或对风险的研究的角度不同，不同的学者对风险概念有着不同的解释，但可以归纳为以下几种代表性观点。 (1) 风险是事件未来可能结果发生的不确定性 A.H.Mowbray将风险称为不确定性；C.A.Williams将风险定义为在给定的条件和某一特定的时期，未来结果的变动；March &Shapira认为风险是事物可能结果的不确定性，可以由收益分布的方差测度；Bromiley认为风险是公司收入流的不确定性；Markowitz & Sharpe等将证券投资的风险定义为该证券资产的各种可能收益率的变动程度，并用收益率的方差来度量证券投资的风险，方差越大风险越大，反之则风险越小。 (2) 风险是损失发生的不确定性J. S.Rosenbloom将风险定义为损失的不确定性；F.G.Grane认为风险意味着未来损失的不确定性；Brokett、Charnes、Cooper&Ruefli等将风险定义为不利事件或事件集发生的机会，并用概率进行描述。 这种观点又分为主观学说和客观学说两类。主观学说认为不确定性是主观的、个人的和心理上的一种观念，是个人对客观事物的主观估计，而不能以客观的尺度予以衡量，不确定性的范围包括发生与否的不确定性。客观学说则是以风险客观存在为前提，以风险事故观察为基础，以数学和统计学观点加以定义，认为风险可用客观的尺度来衡量。例如佩费尔将风险定义为是可测度的客观概率的大小；F.H.奈特认为风险是可测定的不确定性。 (3) 风险是指可能发生损失的损害程度的大小 段开龄认为，风险可以引申定义为预期损失的不利偏差，这里的所谓不利是指保险公司或被保险企业而言的。例如，若实际损失率大于预期损失率，则此正偏差对保险公司而言即为不利偏差，也就是保险公司所面临的风险。Markowitz在别人质疑的基础上，排除可能收益率高于期望收益率的情况，提出了下方风险(Down-side-risk)的概念，即实现的收益率低于期望收益率的风险，并用半方差(Semi-variance)来度量下方风险。 (4) 风险是指损失的大小和发生的可能性 朱淑珍在总结各种风险描述的基础上，把风险定义为：风险是指在一定条件下和一定时期内，由于各种结果发生的不确定性而导致行为主体遭受损失的大小以及这种损失发生的可能性大小，风险是一个二维概念，风险以损失发生的大小与损失发生的概率两个指标进行衡量。王明涛(2003)在总结各种风险描述的基础上，把风险定义为：所谓风险是指在决策过程中，由于各种不确定性因素的作用，决策方案在一定时间内出现不利结果的可能性以及可能损失程度。它包括损失的概率、可能损失的数量以及损失的易变性三个面内容，其中可能损失的程度处于最重要的位置。 (5) 风险是风险构成要素相互作用的结果 风险因素、风险事件和风险结果是风险的基本构成要素，风险因素是风险形成的必要条件，是风险产生和存在的前提。风险事件是外界环境变量发生预料不及的变动从而导致风险结果的事件，它是风险存在的充分条件，在整个风险中占据核心地位。风险事件是连接风险因素与风险结果的桥梁，使风险由可能性转化为现实性的媒介。根据风险的形成机理，郭晓亭、蒲勇健(2002)等将风险定义为：风险是在一定时间内，以相应的风险因素为必要条件，以相应的风险事件为充分条件，有关行为主体承受相应的风险结果的可能性。叶青、易丹辉(2000)认为，风险的内涵在于它是在一定时间内，风险因素、风险事故和风险结果的递进联系而呈现的可能性。 (6) 利用对波动的标准统计测量方法定义风险 1993年发表的G30小组的衍生产品的实践和规则研究报告中，对已知的头寸或组合的市场风险定义为：经过某一时间间隔，具有一定置信区间的最大可能损失，并将这种方法命名为Value at Risk，简称VAR法，并竭力推荐各国银行使用这种方法；1996年国际清算银行在巴塞尔协议修正案中也已允许各国银行使用自己内部的风险估值模型去设立对付市场风险的资本金；1997年P.Jorion在研究金融风险时，利用“在正常的市场环境下，给定一定的时间区间和置信度水平，预期最大损失(或最坏情况下的损失)”的测度方法来定义和度量金融风险，也将这种方法简称为VAR法 刘艳春，证券投资风险值VaR的度量与组合优化研究，2005，25-26。3.2 风险的来源及种类 证券投资活动中的面临的总风险可以分为两部分13：系统风险(Systematic Risk)与非系统风险(Nonsystematic Risk)。 (1) 系统风险的来源 市场风险 市场风险是证券投资组合活动中所面临的最普通，也是最常见的风险。它来自于市场买卖双方供求不平衡引起的价格波动，这种波动使得投资者的投资实际收益率偏高其预期收益率。有时，一家上市公司虽然在短时间内，它的盈利并没有发生变化，但是它的股票价格却会发生教大的波动。这种股价的波动，往往就是市场因素造成的。市场行情受到许多因素的影响，如国家元首的更迭、政治活动、国家重大政治或政治体制的变更、通货膨胀、投机活动、突然爆发的战争或战争的突然结束等。这些因素都会导致股票价格的波动。除了经济、政治和社会变动的原因外，还有市场的心理因素，如当出现看涨行情时，投资者纷纷抢购，导致大多数证券价格的上涨；反之，当出现看跌行情时，投资者纷纷抛售，像刮台风一样，导致大多数证券价格的猛涨。因此，市场风险是一个综合性的风险。 利率风险 利率风险是指由于利率变化导致证券投资的实际收益率偏离其预期收益率的可能性。证券投资收益率同银行收益率密切相关，两者呈反向变动关系。利率越高，证券的价格就下跌；反之，证券价格就上升。这是因为，利率高低的变动将通过机会成本效应影响投资者把资金投向何方，如果银行利率低，意味着存款的机会成本上升，投资者就愿意把资金投资于股票、债券等证券，导致证券价格的上涨，从而导致证券价格的下跌。 通货膨胀风险 投资收益有名义收益与实际收益之分，由于投资者所期望的是实际收益，因而名义收益和实际收益的差别亦至关重要。这种差别通过通货膨胀来反映。通货膨胀风险也称购买力风险，它是指由于通货膨胀因素所导致的投资收益的不确定性。由于通货膨胀，尽管证券的价格未变或略有上升，但由于实际购买力的下降，投资者持有的各种证券和存款都会在通货膨胀风险中遭受损失。通货膨胀风险对固定收益的投资、优先股及债券、存款等的影响尤为明显。通货膨胀是一种常见的经济现象，它的存在使投资者必然承担风险，而且这种风险是不会因为退出投资就可以避免的。 (2) 非系统风险的来源 违约风险违约风险也称信用风险，是投资于“固定收益证券”的投资者所面临的风险，这类证券在发行时就向投资者明确保证，他们可以在未来一段时间内得到确定金额的收入，这笔金额可能是在证券到期时一次发放，也可能在有效期内多次发放。然而当公司盈利状况不佳，现金周转不灵，财务出现危机时，这种事先的承诺就可能无法兑现。 经营风险经营风险是指所投资的企业由于经营状况发生变化所导致的投资收益的不确定性。企业的盈利能力常会因竞争、需要、成本等因素的变化、企业决策的错误、政府的新政策，或其他情况的变化而变化，使投资者所获得的经营利润存在着不确定性。 财务风险财务风险是指由于所投资的企业资本结构变动而使企业支付利息额发生变化，从而使企业投资者最终获利水平发生变动的风险。资本结构中，债务比重越大，企业承担的财务风险越大。 破产风险破产风险是投资于股票、债券特别是中小型或新创公司的投资者必须面对的风险。当企业由于经营管理不善、操作运作不良、或其他原因导致负债累累难以维持时，它可能申请破产法的保护，策划公司的重组，甚至宣布倒闭。因此破产风险表现为当公司宣布破产时，股票、债券价格急剧下跌，以及在公司真正倒闭时，投资者可能血本无归何孝星，证券投资理论与实务，北京：清华大学， 2004，41-42。4 证券投资组合优化的必要性及一般思考4.1 现代证券投资组合理论的局限科学的发展是永无止境的。在欣喜地看到现代证券投资组合理论突飞猛进地发展的同时，正确地认识该理论所存在的局限将对这一理论的进一步发展有所帮助。经过思考，总结出现代证券投资组合理论尚存在以下几方面的局限万丽英，证券投资组合优化模型及其算法研究，大连理工大学，2005，7-8。(1) 风险观的局限很少有人对现代证券投资组合理论的风险进行认真深入的思考，因而使得现代证券投资组合理论的风险观成为一个无须争辩的客观真理。实际上，现代证券投资组合理论的风险观认为，风险是证券未来预期收益率变动的方差或标准差。这一定义虽然使得风险的含义非常明确并可以进行度量，但是却带来一个根本性的问题，即风险用预期收益率变动的方差或标准差来表示，毫无疑问是将预期收益率有益于投资者的变动划入风险的范畴。这实际上使得风险这一概念的提出更多的是为满足数学严格表述的需要，而非投资者对其真正面临风险进行回避的需要，因此具有形而上学的明显特征。(2) 风险分散方式的局限在现代证券投资组合理论的风险观指导下，现代证券投资组合理论提出可以通过各种非相关证券的组合来对风险进行分散，以实现回避风险的目的。实际上，这种风险分散方式隐含着一个前提，即风险既无法改变也不能消灭，只能通过分散的方式解决。如果说这一前提能够成立，也仅是对极少数类型的风险而言，在人类现有文明水平下，很多风险可以通过主观努力得到一定改进，因而，这种风险分散方式具有静态和被动的特征。而且，现代证券投资组合理论的风险分散方式虽然也能够得到一个最优结果，但这种最优结果仅仅是由投资数量结构调整所产生，并非是由改进风险的收益和成本所决定，因而风险分散方式的最优结果缺乏经济学的内涵和必不可少的经济动力。(3) 理论假定的局限撇开风险观和风险分散方式的局限不说，仅就现代证券投资组合理论本身所依赖的假定而言，也存在着很大的局限。现代证券投资组合理论的假定非常多，很多假定难以进行科学和客观的实证，因而其可靠性值得怀疑。例如，Markowitz假定大多数有理性的投资者都是风险厌恶者，但现实中的投资者对风险的厌恶都远比Markowitz的假定复杂的多，尚待人们进行更深入的研究。另外，Markowitz认为预期收益和风险的估计是对一组证券实际收益和风险的正确度量，相关系数也是对未来关系的正确反映，这在现实中实际上无法做到，因为历史的数字资料不大可能重复出现，其中证券的各种变量也会随着时间的推移不停地变化，这些因素都可能从不同的方面造成理论假定与现实的脱节。(4) 理论运用的局限现代证券投资组合理论运用的条件要求非常高，不仅需要精通理论的专业人员和现代化的计算设备，而且更重要的是必须对瞬息万变的证券市场的各种变化做出及时而准确的反映，这在现有条件下几乎是无法办到的，即使能够勉强做到，其效果也会大打折扣。因而，从本质上讲，现代证券投资组合理论运用的局限，是由该理论运用过程中的成本所决定的。发达国家在证券市场上的投资实践活动已对此做出了很多颇具说服力的证明，也正因为如此，很多证券分析家和管理者更愿意将投资作为一门艺术而不是科学。4.2 证券投资组合优化的必要性鉴于上节当中提出的现代证券投资组合理论存在诸多局限，虽然Markowitz组合投资理论的思想是值得借鉴的，但以方差作为风险的度量方法必须修改，因而有必要对现代证券投资组合进行优化。而在原来的均值-方差理论当中加入了VAR约束之后的优化模型却具有原来Markowitz证券投资组合选择模型所不具有的优点。VAR法是一种利用概率论与数理统计来估计风险的方法，它具有以下优点：(1) 可以精确地衡量和直观地描述市场风险的大小；没有任何技术色彩，没有任何专业背景的投资者和管理者都可以通过VAR值对金融风险进行评判。(2) 可以事前计算风险，不像以往风险管理的方法都是事后衡量风险的大小；VAR不仅能估计未来可能发生的损失规模，而且还可以明确损失发生的可能性。(3) VAR可以涵盖影响金融资产的各种不同市场因素，同时该模型也可以测度非线性的价格风险问题，不仅能计算单个金融工具的风险，还能计算由多个金融工具组成的投资组合风险，这是传统金融风险管理不能做到的。由于VAR本身所具有的以上特点，VAR不仅具有概念简单、易于沟通和理解的优点，而且为不同金融工具构成的复杂的投资组合提供了一个统一的、综合性的风险测量框架。因此，它被巴塞尔委员会确认为市场风险的标准测量工具，成为当今国际上主流的金融风险度量方法。西方国家金融机构和非金融公司将它作为防范金融风险的第一底线。VAR法的发展和完善推动了风险估计技术的标准化，规范化和国际化的进程。5 VAR理论的基础及其度量方法5.1 VAR产生的背景金融市场产生以来，金融风险以其不可预见性和由此导致的巨额经济损失越来越受到人们的关注。近二十年来，随着金融的全球化趋势以及金融市场的波动性日趋加剧，全球金融机构管理的理论和实践发生了革命性变革，金融风险管理成为现代金融机构经营管理的基础和核心。20世纪70年代以前，由于金融市场价格变化比较平稳，金融风险突出地表现为信用风险。然而进入20世纪70年代后，由于衍生工具的急剧膨胀及资产的证券化趋势，全球金融市场产生了基础性的变化，市场风险成为金融机构面临的最重要风险。从美国加洲奥兰治县因交易衍生工具失败而破产，从巴塞尔协议到巴塞尔银行业有效监管核心原则，充分反映了市场风险对金融机构的重大影响及国际金融监管当局对此作出的有效反应。市场风险是指由于市场因子(如利率、汇率、股指、商品价格)的变化而导致金融市场收益的不确定性。市场风险的管理就是在准确辨识和测量风险的基础上，利用各种工具和技术对风险进行规避、分散、控制和防范的过程。显然，在市场风险管理过程中，风险测量是基础和核心。所谓市场风险测量就是测量由于市场因子的不利变化而导致的损失的大小，是将风险的特性定量化。最初人们用收益率的波动性，如方差、标准差和平均绝对偏差来描述国库券和股票等固定或已知现金流的金融资产的市场风险，随着风险测量和风险管理概念的发展，系数被用于测量股票组合的市场风险。近年来随着金融创新及资产证券化，资产结构越来越复杂，传统风险测量工具的缺陷逐渐暴露出来，在很大程度上已经不再适应今天剧烈波动的金融市场。针对目前的金融衍生市场，JPMorgan.G30集团提出了测量市场风险的VAR方法。5.2 VAR的定义VAR (Value at risk)的字面含义是“处于风险中的价值”，一般翻译为“在险价值”，它是近年来国外兴起的一种金融风险管理工具，旨在估计给定金融产品或组合在未来资产价格的波动下可能或潜在的损失。Jorion(1996)给出了权威定义：“VAR是指在一定的概率水平下(置信度)，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失”。用数学公式可表示为： (5.1) 其中，为证券组合在持有期内的损失，VAR为置信水平下处于风险中的价值。式中VAR及损失均取正数形式。 例如，持有期为1天，置信水平为97.5%的某一证券组合的VAR是10万元，根据VAR的定义，其含义是：我们可以以97.5%的可能性保证，该证券组合在未来的24小时内组合价值的最大损失不会超过10万元。 (1) 一般分布下的VAR计算 考虑一个证券组合，假定为该投资组合的初始价值，是持有期内的收益率，则该组合的期末价值为。如果收益率的期望值为，波动性为，且在给定置信水平下投资组合的最低价值为，则根据VAR的定义：在一定置信水平下，证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失，那么VAR可表示为： (5.2)从以上定义可以看出，计算VAR即相当于计算组合最小价值或最低收益率。考虑证券组合未来收益率所服从的随机过程，假定其未来收益率的概率密度函数为，则对于某一置信水平 下投资组合的最低值，有： (5.3)或： (4.4)无论分布是离散的还是连续的，厚尾还是瘦尾，这种表达方式对于任何分布都是有效的。(2) 正态分布下的VAR计算 如果投资组合的收益率分布为正态分布，记标准正态分布的密度函数为。由于一般为负值，故可记为，由此有： (5.5)其中为标准正态分布分位数，用公式表示： (5.6)在标准正态分布下，置信水平与分位数一一对应。当给定一个置信水平如95 %，则对应。于是就可以计算出相应的最小回报和VAR。根据(5.6)，最小回报可表示为： (5.7)如果以上计算中的参数和都是基于一天的时间间隔上计算出来的，而要计算持有期的长度为的VAR，那么，根据规则，假设连续时间区间的收益率不相关，则，从而我们可以得到时间间隔为的VAR为： (5.8)这种方法可以推广到其它累积概率函数，其中所有的不确定性都体现在上，其他分布会得到不同的值。5.3 VAR的三个要素从VAR方法的定义及一般计算方法中，可以看出VAR方法有三个要素。(1) 持有期间它是对给定持有期限的回报的波动性和关联性考察的整体时间长度，是计算VAR的时间范围。由于波动性与时间长度成正相关，所以VAR随持有期的增加而增加。通常的持有期是一天或一个月，在1997年底生效的巴赛尔委员会的资本充足性条款中，持有期为两个星期(10天)。为克服市场经济周期性变化的影响，持有期间的历史数据越长越好，但是，时间越长，市场结构性变化的可能性越大，历史数据因而越难以反映现实和未来的情况。选择较短的持有期还有如下好处： 得到大量样本数据的可能性越大； 更容易满足在VAR计算中组合保持不变的假设； 实际回报越接近于正态分布，由于正态分布在统计上有诸多优良特性，使得正态分布下VAR的计算有很多便利。(2) 置信度 置信度的选择体现了金融机构对极端事件风险的厌恶程度。选择越大的置信度计算出来的VAR值越大，表明风险厌恶程度越高，则需要准备更加充足的风险资本来补偿额外损失。同时金融监管当局为保持金融系统的稳定性，会要求金融机构设置较高的置信水平。如巴赛尔委员会1997年底生效的资本充足性条款中要求的置信度为99%。(3) 收益率分布特征这是VAR方法中最重要的因素，是指投资组合在既定的持有期限内的回报的概率分布，即概率密度函数。由于正态分布在统计上有诸多优良特性，实际中对市场因子的分布多采用对数正态分布的形式，如著名的Risk Metrics模型就采用这种分布。然而金融市场的大量实证结果表明，对数正态模型并不完全与历史回报数据性质相一致，实际的对数回报具有明显的厚尾性。因此，必须用其它具有厚尾性质的分布来刻画。常用的厚尾分布有：t分布、广义误差分布(GED)等。5.4 VAR的计算方法5.4.1 投资组合的VAR度量(1) 基本定义投资组合就是对一定数量的风险因素持有量的组合。当把它进行分解后，投资组合的收益就是各种基础资产收益的线形组合，每种资产的权重由最初对该种资产的投资比例决定。于是投资组合的VAR可以由其包含的各种有价证券的风险组合得出：从时间t到t+1期间投资组合的收益为菲利普乔瑞（Philippe Jorion），风险价值VAR，北京：第二版北京中信出版社，2005，135： (5.9)其中，表示资产数量，表示资产的收益率，为权重，且其和为1。 为了简化表达式，投资组合收益率可用矩阵符号的形式表示，用一个向量代替一连串的数学： (5.10)其中：代表权重系数向量的转置，代表单个资产收益纵向量。可得出投资组合的预期收益率为： (5.11)方差为： (5.12)这个表达式不仅描述了单个证券的风险，也描述了所有的协方差，这些协方差加起来总共有 个不同的项。随着资产数量的增加，把所有的协方差项都写下来变得非常困难，如果用矩阵的形式就很容易了。方差可表示为： (5.13)令表示协方差矩阵，投资组合收益率的方差可简化为： (5.14)到现在为止，我们还没有讨论投资组合收益率的分布问题，最后把投资组合的方差转化为VAR的衡量值。在德尔塔-正态模型中，所有单个证券的收益率都被假设为正态分布，所以投资组合的收益率也为正态分布的，将置信水平转化为正态标准差分位数，这样观测一个损失大于的概率就是。令为初始投资组合的价值，则投资组合的VAR为：投资组合的 (5.15)从而得出要降低投资组合的风险可以通过两种途径： 用相关性低的资产进行组合； 增加资产种类的数量。如果把投资组合方差用VAR表示出来，需要了解投资组合的收益分布。在“正态”模型中假定个资产的收益是正态分布的。由于投资组合是随机变量线性组合的结果，那么假定投资组合收益也是正态分布的就是很自然的。在给定可信度的情况下，投资组合的。(2) 增量的VAR计算VAR十分重要的问题，就是了解哪种投资组合带来的风险最大。掌握了这个方法，就能通过调整个资产的份额进行有效的修正VAR值。要实现这个目标，仅有单个资产是不够的，就单个资产而言，波动率衡量该种资产收益的不确定性，当该资产成为组合中的一部分时，他将对投资组合的风险产生影响。假定一个投资组合是由个有价证券组成的，分别标为。向该组合中增加一种证券，得到一个新组合，增加一种资产引起的边际风险。可以通过方差方程对求微分得到。5.4.2 VAR的三种计算方法目前，推算组合风险因子收益分布的方法主要有三种，分别为历史模拟法(Historical Simulation Method)、蒙特卡罗模拟法(Monte Carlo Simulation)和方差-协方差法(Variance-Covariance Approach)，从而决定了三种不同类型的VAR计算方法。木文主要采用方差-协方差法计算。(1) 历史模拟法菲利普乔瑞（Philippe Jorion），风险价值VAR，北京：第二版北京中信出版社，2005，201-206 历史模拟法假定回报分布为独立同分布，市场因子的未来波动与历史波动完全一样。其核心在于根据市场因子的历史样本变化模拟证券组合的未来损益分布，利用分位数给出一定置信水平下的VAR估计。具体来讲，它是根据每种资产的历史损益数据计算当前组合的“历史”损益数据，将这种数据从小到大排列，按照置信度的水平找到相应的分位点，从而计算出VAR值。该方法的主要优点在于：简单直观，易于解释；它是一种非参数方法，不需要假定回报的统计分布，因而可以较好的处理非正态分布；该方法是一种全值模拟，可有效地处理非线性组合(如包括期权的组合)。缺点在于假定回报的未来变化与历史变化完全一致，服从独立同分布，概率密度函数不随时间而变化(或明显变化)，这与实际金融市场的变化不一致，而且不能提供比样本点中最大损失还要坏的预期损失，使用者所选取的样本大小对预测结果会造成很大的影响。(2) 蒙特卡罗模拟法 蒙特卡罗模拟法与历史模拟法类似，区别在于蒙特卡罗模拟法不是直接利用每种资产的历史数据来估计风险值，而是得到它的可能分布，并估计分布的参数。然后利用相应的“随机数发生器”产生大量的符合历史分布的可能数据，从而构造出组合的可能损益。在这样得到大量的可能损益后，按照给定的置信水平得到风险值的估计。该法的优点在于：能产生的大量情景，比历史模拟方法更精确和可靠，是一种全值估计方法，可以处理非线性、大幅波动及厚尾问题；可模拟回报的不同行为(如白噪声、自回归和双线性等)和不同分布。其主要缺点在于：生成的数据序列是伪随机数，可能导致错误结；随机数中存在群聚效应而浪费了大量的观测值，降低了模拟效率；依赖于特定的随机过程和所选择的历史数据；计算量大、计算时间长，比分析方法和历史模拟方法更复杂。(3) 方差-协方差法方差-协方差法是VAR计算中最为常用的方法。它假定风险因子收益的变化服从特定的分布(通常是正态分布)，然后通过历史数据分析和估计该风险因子收益分布的参数值，如方差、相关系数等。6 基于VAR约束的投资组合模型6.1 Markowitz投资组合模型在前两章中，我们分别讨论了如何度量证券或证券组合的VAR，以及证券组合的意义。从那里我们知道，进行多样化投资可以分散风险。然而，在一个证券组合中，如果各证券的权重一旦发生变化，证券组合的收益和风险也会随之发生变化。那么，如何确定证券组合中各证券的权重，使得证券组合能在满足一定预期收益率的条件而使风险达到最小，或者使得证券组合在所能承受的风险条件下而使预期收益率最高？为此，Harry. M. Markowitz 在 1952 年建立了如下的证券组合优化模型：(1) 模型假设 投资者都规避风险(risk adverse)。规避风险是指在面对两项预期收益相同但风险不同的投资时，投资者将选择风险较低的投资。 资者都追求效用最大化原则(即投资者都是非满足的)； 投资者仅根据均值、方差以及协方差来选择最佳投资组合； 投资期为一年； 资金全部用于投资，但不允许卖空； 证券间的相关系数都是-1，不存在无风险证券，即全部证券都存在风险，而且至少有两个证券的预期收益是不同的王玉霞，证券投资学，东北财经大学出版社，2003，281-282。(2) 模型的建立 (6.1)其中， 是证券组合的预期收益率，是证券的预期收益率，是证券在证券组合中的权重，是证券组合中的证券数目，是证券组合的方差，其开方是证券组合的标准差，被用来度量证券组合的风险，是这种证券的协方差矩阵。由(6.1)得出，给定一个证券组合的预期收益率，可以有无穷多种证券组合方式来实现该预期收益率。同样地，对于一个给定的风险水平，也有无穷多种组合方式来实现它。将所有的证券投资组合的期望标准差为横坐标，以期望收益率为纵轴的坐标中，就会生成证券投资组合集合，基本形状如图6-1，我们称这个区域为证券组合的可行集。可行集是这种证券所能构成的所有证券组合的集合。标准差期望收益率O 图6-1证券组合的可行集 然后根据投资的风险偏好，运用系统工程里的无差异曲线的绘制，可以绘制出一系列的无差异曲线。风险偏好有三种：风险回避型、风险爱好型、风险中立型。而Markowitz模型的假设是风险规避的，所以投资者的风险无差异曲线如图6-2：标准差RO 图6-2 风险规避型效用函数由图6-1和6-2可以求出两图形的交点，这就是(6.1)的解。6.2 在VAR约束下的投资组合优化模型Markowitz投资组合模型的矩阵形式： (6.2) 当把投资合的风险视为要超过某指定概率的最低回报率时，我们就称该方法为VAR量法，该最低回报率称为该投资组合的VAR。用数学式子表示就是： (6.3)其中是指定的概率。假设投资组合的分布是正态分布，由大数定理，(6.3)式可以转化为： (6.4) 其中是标准正态分布的分布函数，用(6.4)式替换Markowitz模型中的风险函数，我们就得到最优均值VAR模型： (6.5)这是一个双目标规划问题。如果我们已知，则模型(6.5)就变成： (6.6)这类似于Baumol模型。Baumol用Lagrange乘子法解决了类似模型。但如果投资者所能承受的风险(即VAR)是已知的，则模型(6.5)就变成： (6.7)将(6.4)变形为： (6.8)将和代入(6.4)式，我们得到：因为，所以，将它分别代入和(6.8)，得到 (6.9) (6.10)在权重空间中，式(6.10)代表等VAR超椭球面，对于不同的VAR，可得到一族超椭球面。在权重空间中，式(6.9)代表等期望回报率超平面，对于不同的，可得到一族平行超平面。因而，n种资产投资组合的最优权重应是等期望回报率超平面(6.9)与等VAR超椭球面(6.10)的正切点，把这些正切点连接起来，就得到一条直线，我们称它为n种资产投资组合的临界线，不难看出，临界线上的点就是模型(6.2)解集合。该直线与图6-1的交点有两点：A点和B点，如图6-3所示：标准差预期收益率MVPBAVAR约束O图6-3 VAR