高中数学指数与指数函数.ppt

第五节 指数与指数函数,a的n次方根,根式,a,(3)有理数指数幂的运算性质： aras _(a0，r、sQ)； (ar)s_ (a0，r、sQ)； (ab)r _(a0，b0，rQ),ars,ars,arbr,2指数函数的图象与性质,R,(0，),(0，1),y1,0y1,0y1,y1,增函数,减函数,1如图251是指数 函数(1)yax，(2)ybx， (3)ycx，(4)ydx的图象， 底数a，b，c，d与1之间 的大小关系如何？你能得到什么规律？ 【提示】 图中直线x1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1，cd1ab，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大,2函数yax，ya|x|(a0，a1)二者之间有何关系？ 【提示】 函数ya|x|与yax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x0时两函数图象相同,【答案】 B,【答案】 D,【解析】 由题意得0164x16， 函数的值域是0，4) 【答案】 C,4(2013三明模拟)当a0，且a1时，函数f(x)ax23的图象必过定点_ 【解析】 a01，x20，即x2，此时，f(2)2，因此必过定点(2，2) 【答案】 (2，2),5(2013安庆模拟)指数函数y(a21)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_,【思路点拨】 将根式化为分数指数幂，负分数指数化为正分数指数，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行运算,1这类问题的求解，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序 2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 3运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数,已知f(x)|2x1|， (1)求f(x)的单调区间； (2)比较f(x1)与f(x)的大小； (3)试确定函数g(x)f(x)x2零点的个数 【思路点拨】 (1)作出f(x)的图象，数形结合求解 (2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x1)图象，数形结合求解 (3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与yx2的图象，数形结合求解,(2)在同一坐标系中分别作出 函数f(x)、f(x1)的图象， 如图所示,(3)将g(x)f(x)x2的零点转化为函数f(x)与yx2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f(x)|2x1|和yx2的图象如图所示，有四个交点，故g(x)有四个零点,1指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解 2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解,k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？ 【解】 函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示,当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当0k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解.,【思路点拨】 (1)根据复合函数的单调性求解 (2)先求函数的定义域，再判断奇偶性；对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x0的情况,1求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断 2与奇、偶函数有关的问题，根据对称性可只讨论x0时的情况,x1x2，当a1时，ax2ax10， 从而ax110，ax210，ax1ax20， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)为R上的增函数，当0a1时，ax1ax20， 从而ax110，ax210，ax1ax20， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)为R上的减函数,分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算,1.指数函数的单调性取决于底数a的大小，因此解题时通常对底数a按：0a1和a1进行分类讨论 2换元时注意换元后“新元”的范围,从近两年高考看，本节多以指数函数为载体，考查指数运算和指数函数的图象与性质的应用；题型以选择题、填空题为主，中低档难度，预计2014年仍延续这一特点，对指数函数与二次函数结合的题目，重点注意参数的计算与比较大小,思想方法之三 构造法在指数幂大小比较中的应用,【答案】 A,易错提示：(1)对a和b没有化为同底的意识，造成思维受阻 (2)不能合理的构造函数或找不到恰当的中间量而盲目作答，造成误解 防范措施：(1)比较幂的大小时，若底数不同，首先看能否化为同底； (2)不能用函数的单调性比较大小的，一般要找中间量比较,2(2012上海高考)方程4x2x130的解是_ 【解析】 法一 原方程4x2x130可化为(2x)22